davicos ha scritto:Faccio un paio di esempi presenti sul mio libro:
$1)$
Sia $ f:R^3rarr R^3 $ una certa applicazione lineare di un certo esempio che non scrivo (per i miei fini non è importante),
allora
$ dim Kerf = 3 - rk(A) = 3 - 2 = 1 $ quindi la dimensione del nucleo è $1$ ed in particolare $f$ non è iniettiva
Esatto non lo è. Infatti esisterà un certo vettore $v$ tale che $f(vecv)=vec0$. Anzi, qualsiasi vettore del tipo $alpha vecv$, per linearità della $f$, verrà mandato a $0$.
davicos ha scritto:La mia domanda è: il siugnificato della dimensione del nucleo è proprio uguale ai vettori v tale che f(v)=0??
La dimensione del nucleo è la cardinalità di una base di vettori che vengono mandati a $0$.
davicos ha scritto:2)
Sia f:R3→R3 un'altra applicazione lineare, allora
dimKerf=3−rk(B)=3−3=0 cioè Kerf={(0,0,0)} pertanto f è iniettiva.
Sì, il nucleo ha dimensione $0$,
quindi contiene solo il vettore nullo. Pertanto l'unico vettore che viene mandato a $0$ è $vec 0$ e la funzione è iniettiva.
davicos ha scritto:Mi spiego meglio (se riesco): dimKerf=1 vorrebbe dire che v=1 e per definizione di iniettività tramite nucleo non è iniettiva perchè diverso da zero. Analogamente dimKerf=0 è iniettiva perchè v=0 in questo caso (si è sempre considerato lo zero non come numero ma come vettore).
No, vuol dire che esiste
un unico vettore $v$ che viene mandato a $0$, non che $v=((1),(1),(1))$. E' una cosa totalmente diversa.
davicos ha scritto:Se come dico io fosse giusto allora diei che nell'esempio 1) essendo che la dimensone è 1 allora ho un solo vettore v tale che f(v)=0, ma immagino non sia così.
Esatto, ci sei.