studio integrale

Messaggioda zio_mangrovia » 25/05/2017, 10:41

Un esercizio chiede di studiare al variare di $a$ la convergenza dell'integrale:

$int_0^5(x^2-3ax+2a^2)/(x^2-1)dx$

se esistono valori di $a$ per cui converge calcolarne i valori.

Mi chiedo innanzitutto quali sono i criteri per cui un integrale converge e questo lo si fa con i criteri del confronto ma in questo caso come conviene partire con i ragionamenti? Non so da che parte rifarmi.
Direi di spezzare l'intervallo poiché in $1$ abbiamo un problema, poi avrei pensato di scomporre il rapporto dei due polinomi in polinomi fratti più semplici per calcolarne l'integrale e poi alla fine trovare in funzione di $a$ l'integrale definito in $[0,5]$ per poi far le dovute analisi sul termine generale $a$. Cosa ne pensate?
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Re: studio integrale

Messaggioda gugo82 » 25/05/2017, 13:09

Troppo casino.

La funzione è razionale, quindi è continua a parte (eventualmente) nelle radici del denominatore.
L'unica radice che cade nell'intervallo di integrazione è $1$, dunque quello è l'unico punto che crea problemi... E li crea solo se esso è un punto intorno al quale l'integrando non è limitato, il che accade solo se $1$ non è anche una radice del numeratore, ossia quando $a=1/2$ oppure $a=1$.
Dunque:
  • se $a!= 1/2, 1$, l'integrando è un infinito d'ordine $1$ in $1$, quindi l'integrale $I(a)$ non è convergente;

  • se $a=1/2$, hai:
    \[
    I(a) = \int_0^5 \frac{x-\frac{1}{2}}{x+1}\ \text{d} x
    \]
    che si calcola a mano;

  • se $a=1$, hai:
    \[
    I(a) = \int_0^5 \frac{x-2}{x+1}\ \text{d} x
    \]
    che si calcola a mano ugualmente.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: studio integrale

Messaggioda zio_mangrovia » 25/05/2017, 20:32

gugo82 ha scritto:se $a!= 1/2, 1$, l'integrando è un infinito d'ordine $1$ in $1$, quindi l'integrale $I(a)$ non è convergente;

Purtroppo mi sfugge ! Facendo un esempio con $a=2$ avremmo $(x^2−6x+8)/(x^2-1)$ il valore del limite verrebbe $-8$ quindi infinitesimi dello stesso ordine, ma perché parli di infinito?!?! Perché si conclude con la non convergenza?
Grazie
Ultima modifica di zio_mangrovia il 27/05/2017, 07:58, modificato 1 volta in totale.
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Re: studio integrale

Messaggioda gugo82 » 26/05/2017, 10:47

Non vedo perché $x^2 -6x +8$ debba essere infinitesimo in $1$...
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Re: studio integrale

Messaggioda zio_mangrovia » 27/05/2017, 08:00

gugo82 ha scritto:Non vedo perché $x^2 -6x +8$ debba essere infinitesimo in $1$...


sinceramente non sto capendo ancora perché l'integrale è divergente
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Re: studio integrale

Messaggioda gugo82 » 27/05/2017, 21:49

Fai i conti.
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