calcolo limite con integrale

[zio_mangrovia]

Data la funzione :

$f(x)=\int_0^xsint/tdt$

Dimostrare che esiste il limite finito di:

$\lim_(x->0^-)(2f(x)-f(2x))/(x-f(x))$

Ed eventualmente calcolarlo... ma come faccio se non trovo prima la primitiva? Oppure devo prima capire se converge?!

[pilloeffe]

Ciao zio_mangrovia,

Potresti provare con la regola di De l'Hopital...

[zio_mangrovia]

Ci avevo pensato ma dovrei dimostrare che è una forma indeterminata no?

[Bremen000]

Che mi pare piuttosto evidente, cosa fa $\lim_{x to 0^-} f(x)$?

[zio_mangrovia]

Se non sbaglio verrebbe $\lim_(x->0^-)\int_0^xsint/tdt$ quindi $\lim_(x->0^-)\int_0^(0^-)sint/tdt$ $=0$ ?

So che $\int_a^af(t)dt=0$ ma ho escluso questa possibilità in quanto l'estremo non era proprio $0$ ma $0^-$ e quindi non lo stesso valore identico, dove sbaglio?

[Indrjo Dedej]

Ciao zio_mangrovia,

Potresti provare con la regola di De l'Hopital...

Buona idea.

Mi pare piuttosto evidente, cosa fa $ \lim_{x to 0^-} f(x) $?

Se non sbaglio verrebbe $ \lim_(x->0^-)\int_0^xsint/tdt $ quindi $ \lim_(x->0^-)\int_0^(0^-)sint/tdt $ $ =0 $ ?

So che $ \int_a^af(t)dt=0 $ ma ho escluso questa possibilità in quanto l'estremo non era proprio $ 0 $ ma $ 0^- $ e quindi non lo stesso valore identico, dove sbaglio?

Fa $0$. Il simbolo "$-$" posto all'apice dello $0$ indica come si raggiunge questo limite, in questo caso per difetto.

Infine aggiungo il consiglio di usare il buon vecchio teorema fondamentale dell'analisi.

ID

[pilloeffe]

Ciao zio_mangrovia,

La tua funzione $f(x)$ è più nota col nome di $Si(x)$, funzione seno integrale. Si tratta di una funzione dispari (cioè $Si(-x) = - Si(x)$, lo puoi verificare facilmente) e continua nel suo dominio $D = \RR$ e quindi in particolare nel punto $x_0 = 0$, per cui si ha:

$\lim_{x \to 0^-} Si(x) = \lim_{x \to 0^+} Si(x) = Si(0) = 0 $

[zio_mangrovia]

Infine aggiungo il consiglio di usare il buon vecchio teorema fondamentale dell'analisi.
ID

Cioè ?!

[zio_mangrovia]

Si tratta di una funzione dispari (cioè $Si(-x) = - Si(x)$, lo puoi verificare facilmente) e continua nel suo dominio $D = \RR$ e quindi in particolare nel punto $x_0 = 0$

Capisco che una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine per cui passa per il punto $(0,0)$, ragion per cui si può affermare che il valore di $Si(x)$ nel punto $x_0 = 0$. Corretto?
Facendo un ragionamento più ampio se mi trovassi davanti sempre una funzione integrale come capire se la primitiva è continua?
Esempio:

$f(x)=\int_0^xf(t)dt$

In questo caso se non trovo la primitiva di $f(t)$ non sono in grado di trovare il dominio di esistenza della funzione e neppure capire se presenta punti di discontinuità nel suo dominio, giusto?

[Bremen000]

Capisco che una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine per cui passa per il punto $ (0,0) $, ragion per cui si può affermare che il valore di $ Si(x) $ nel punto $ x_0 = 0 $. Corretto?

Non è detto che una funzione dispari sia definita nell'origine, ad esempio $f(x) = 1/x$ è dispari ma non ha senso parlare del suo valore nell'origine. Quello che si può dire è che se una funzione dispari e $0 \in Dom(f)$ allora vale $f(0)=0$.

Facendo un ragionamento più ampio se mi trovassi davanti sempre una funzione integrale come capire se la primitiva è continua?
Esempio:
$ f(x)=\int_0^xf(t)dt $

Le funzioni integrali, ove definite, sono continue (vedi teorema fondamentale del calcolo integrale); se poi l'integranda è continua allora la funzione integrale è addirittura derivabile una volta con continuità (sempre teorema fondamentale del calcolo).

La funzione in esame $f(x)=\frac{sin(x)}{x}$ rigorosamente parlando non è definita nello $0$ ma, si fa sempre così, poiché nello $0$ ha una discontinuità eliminabile, si pone $f(0)=1$ e in questa maniera si ottiene una funzione continua su tutto $\mathbb{R}$ e come tale non presenta problemi di integrabilità su un qualsiasi insieme limitato.
Quindi il dominio della funzione integrale è tutto $\mathbb{R}$ e dunque $F(0)=0$, dove con $F$ indico la funzione integrale di $f$.