Un'identità in anelli gruppali

[killing_buddha]

Consideriamo il monoide libero $\mathbb{S}_8 = (S_8, \cdot)$ su un insieme con $8$ elementi, diciamoli $\{a,b,c,d,x,y,u,v\}$. Consideriamo poi la \(\mathbf{Z}\)-monoid algebra su $\mathbb{S}_8$, diciamola \(R = \mathbf{Z}[\mathbb{S}_8]\); si tratta dell'anello con elementi le somme formali
\[
\sum_{h\in \mathbb{S}_8} n_hh
\] dove \((n_h) \in \mathbf{Z}^{(S_8)}\) è una successione di interi nulla per quasi tutti i termini, e il prodotto avviene come descritto qui (per i gruppi, ma per i monoidi la definizione è identica).

Consideriamo ora l'anello delle matrici $2\times 2$ a ingressi in $R$: dimostrare che nel prodotto di matrici
\[
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x & u \\
-y & -v
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12}\\
x_{21} & x_{22}
\end{pmatrix}
\] se $x_{11}, x_{12}, x_{21}$ sono zero, lo è anche $x_{22}$.