Passo 1In questa prima applicazione della formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
$[vec(v_C)=vec(v_G)+vec\omegaxx(C-G)]$
poiché $[vec(v_C)]$ è
in ogni istante diretta lungo la direzione orizzontale e,
nel solo istante in cui l'asta è orizzontale, $[vec\omegaxx(C-G)]$ è diretta lungo la direzione verticale, $[v_C]$ deve necessariamente essere uguale alla componente orizzontale di $[vec(v_G)]$ che, a sua volta, per la conservazione della componente orizzontale della quantità di moto, è
in ogni istante uguale a $[m_p/(m+m_p)v_0]$. In definitiva:
$[v_C=m_p/(m+m_p)v_0]$
Passo 2In questa seconda applicazione della formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi:
$[vec(v_G)=vec(v_C)+vec\omegaxx(G-C)]$
poiché $[vec(v_C)]$ è
in ogni istante diretta lungo la direzione orizzontale e,
nel solo istante in cui l'asta è orizzontale, $[vec\omegaxx(C-G)]$ è diretta lungo la direzione verticale, ricordando che $[bar(CG)=1/2m_p/(m+m_p)l]$ e applicando il teorema di Pitagora:
$[v_G^2=m_p^2/(m+m_p)^2v_0^2+1/4m_p^2/(m+m_p)^2l^2\omega^2]$
Mynameis ha scritto:... non credo che se stessi banalizzando il problema sarei ancora qui anche dopo la tua soluzione del problema a chiederti chiarimenti ...
Non era propriamente una critica. Io stesso sono piuttosto sorpreso dalla complessità dell'esercizio. Infine, per quanto riguarda la reazione vincolare nell'istante in cui l'asta è orizzontale, orientando un asse verticale verso l'alto:
$[R-(m+m_p)g=(m+m_p)a_G]$
è necessario determinare $[a_G]$ derivando la solita formula:
$[vec(v_G)=vec(v_C)+vec\omegaxx(G-C)] rarr [vec(a_G)=vec(a_C)+(dvec\omega)/(dt)xx(G-C)+vec\omegaxx(vec(v_G)-vec(v_C))] rarr$
$rarr [vec(a_G)=vec(a_C)+(dvec\omega)/(dt)xx(G-C)+vec\omegaxxvec\omegaxx(G-C)] rarr [a_G=-1/2m_p/(m+m_p)ldot\omega]$
dato che $[vec(a_C)]$ e $[vec\omegaxxvec\omegaxx(G-C)]$ sono entrambe dirette lungo la direzione orizzontale. Inoltre, applicando la seconda equazione cardinale della dinamica:
$[(m(m+4m_p))/(12(m+m_p))l^2dot\omega=1/2m_p/(m+m_p)lR] rarr [dot\omega=(6m_p)/(m(m+4m_p))R/l] rarr$
$rarr [a_G=-(3m_p^2)/(m(m+m_p)(m+4m_p))R]$
In definitiva:
$[R-(m+m_p)g=-(3m_p^2)/(m(m+4m_p))R] rarr [R=(m(m+4m_p))/(m+3m_p)g]$
Giova sottolineare che lo stesso risultato può essere ottenuto più direttamente considerando un sistema avente due gradi di libertà e adottando gli strumenti della meccanica razionale. Insomma, per scrupolo, ho fatto una verifica.
Mynameis ha scritto:... aiutatemi a togliermi di mezzo sto maledetto esercizio ...
Per curiosità, dove lo sei andato a pescare?