da Luca.Lussardi » 09/08/2017, 10:52
Ci sono tanti modi per costruire $\mathbb R$ a partire da $\mathbb Q$, quello che io preferisco e' il completamento perche' in modo quasi automatico hai l'espansione decimale illimitata di ogni reale. Il neo di questo approccio e' che ti serve parlare di successioni di Cauchy in $\mathbb Q$, concetto normalmente introdotto dopo. L'approccio che va per la maggiore e' quello noto come "sezioni di Dedekind". Ti rimando, per approfondimenti, a un libro di analisi 1 (non su tutti lo trovi pero'), ti spiego solo l'idea, che parte dal disporre i razionali sulla retta e cercare di tappare i buchi che restano. I razionali hanno infatti una proprieta' detta "di sezionamento": puoi cioe' trovare sottoinsiemi $A,B$ di $\mathbb Q$ disgiunti la cui unione e' tutto $\mathbb Q$ e tali per cui per ogni $x\in A$ e per ogni $y\in B$ hai $x<y$. Esempio: $A:=\{x\in \mathbb Q:x^2<2\}$ e $B:=\{x\in \mathbb Q:x^2>2\}$. Si puo' verificare che $A,B$ sono come detto in precedenza. Ebbene, le due classi $A,B$ "identificano" il "numero" $\sqrt 2$, unico elemento separatore tra $A$ e $B$. E' opportuno precisare che l'elemento separatore viene proprio definito come la coppia $(A,B)$. Questa e' solo l'idea della costruzione, che come vedi e' molto complicata e poco maneggevole. Alla fine di tutto la cosa importante e' che i numeri reali verifichino, in aggiunta alle regole di calcolo vere anche per $\mathbb Q$, la proprieta' dell'estremo superiore (ad esempio, ci sono anche altre assiomatiche per $\mathbb R$): ogni sottoinsieme $A$ superiormente limitato in $\mathbb R$ ha estremo superiore.