Salve,iniziando a studiare per la prima volta la teoria dei gruppi mi sono trovato davanti a un argomento che non capisco bene,cioè quello di gruppo ciclico.Anche se conosco una definizione,non riesco ancora a capire se un gruppo è ciclico o meno e quali sono i suoi generatori.Per esempio,in un esercizio mi viene chiesto:"Let $U_n$ denote the integers relatively prime to $n$ ,under moltiplication $mod$$n$.Show that:
$U_8$ isn't a cyclic group
$U_9$is a cyclic group.What are all its generators?
$U_17$ is a cyclic group.What are all its generators?"
La definizione che il libro porta è:Se $G$ è un gruppo finito il cui ordine è un numero primo $p$,allora $G$ è un gruppo ciclico.
E da qui capisco che devo calcolare l'ordine dei gruppi,che mi viene detto essere la cardinalità(in realtà dice il numero di elementi dell'insieme,ma se non sbaglio sono la stessa cosa).Ora quindi il problema è come calcolo la cardinalità dei gruppi?
Perché,non conoscendo altro metodo dovrei mettermi a contare tutti i numeri con quella proprietà e per $n$ "molto grandi",non risulta affatto un metodo efficacie,per risolvere il problema;e non ho idea di come trovare i generatori.