Analisi e geodetiche

[antonio9992]

Salve

La geometria differenziale è una branca comune di analisi differenziali e geometria, posto qui perché l'argomento è complesso ed è più collegato al calcolo differenziale che alla geometria più semplice, al primo appartengono infatti gli strumenti per il calcolo di distanze curvilinee.

Sappiamo che la geometria euclidea non è l'unica geometria, si è passati dal concetto di retta a quello di geodetica per descrivere le geometrie ed io riflettevo sulle geodetiche:

è possibile che la geometria euclidea sia l'unica per cui valga che tra due punti passa una sola geodetica?

O ponendola in un altro modo: è possibile costruire una geometria non euclidea tale per cui presi due punti dello spazio risulta unica la geodetica passante per essa?

[killing_buddha]

Sì, ed è una conseguenza del teorema di Cauchy-Lipschitz: leggi qui.

[dissonance]

Secondo me la domanda è posta male perché mischia due linguaggi: quello della geometria Riemanniana e quello della geometria non euclidea. Io reinterpreterei la domanda così: "è vero che l'unica varietà Riemanniana completa per cui esiste una unica geodetica passante per due punti arbitrari è lo spazio euclideo?".

Mi pare, ad intuito, che la risposta a questa domanda sia negativa, e questa superficie ne è un controesempio:

https://en.wikipedia.org/wiki/Saddle_point#Surface

ma non l'ho dimostrato formalmente.

[otta96]

Non vanno bene anche il piano iperbolico, il proiettivo bidimensionale reale?

[dissonance]

@otta: Buh. Se sai dimostrarlo (posto che sia facile, naturalmente) e ne posti una dimostrazione qui sarebbe carino.

[j18eos]

Se le "rette" del piano iperbolico sono le sue geodetiche, allora per due punti distinti passa un'unica geodetica!

Sbaglio?

[dissonance]

@j18eos:

Buh. Se sai dimostrarlo (posto che sia facile, naturalmente) e ne posti una dimostrazione qui sarebbe carino.

[otta96]

Rispondo alla richiesta che mi era stato fatta, però non riporto la dimostrazione (perché mi sta fatica ), ma solamente l'idea. Nel piano iperbolico (semipiano superiore aperto), le geodetiche sono le semirette verticali e le semicirconferenze superiori centrate nell'asse delle $x$, e sono le uniche geodetiche, quindi da considerazioni elementari segue che per due punti distinti passa una e una sola geodetica.
Per quanto riguarda il piano proiettivo, a dir la verità, io pensavo che questa cosa valesse per tutte le varietà, e mi sono messo a pensare all'esempio più semplice di varietà che mi può venire in mente (ovvero $S^2$), ma mi sono accorto che per questa varietà se considero due punti antipodali passano infinite geodetiche (le circonferenze massime), quindi ho pensato: "cavolo se solo i punti antipodali fossero un unico punto non ci sarebbe più nulla che non va perché così facendo le infinite geodetiche passerebbero per un solo punto, il che non da nessun tipo di problema; oh, ma tu guarda questo è proprio cosa succede se passo al proiettivo!". Quindi per questo ho detto il proiettivo, ma non ho presente una dimostrazione di questo fatto, comunque mi interesserebbe scoprire se varietà in cui vale il primo assioma di Euclide sono più la norma o l'eccezione. Secondo me è la norma(lità).
P.S. Se volete di scrivo un'IDEA della dimostrazione del fatto che le geodetiche del piano iperbolico sono quelle.

[otta96]

Qualcuno mi dice cosa ne pensa del mio ultimo commento?

[coffee]

Sono d'accordo sul piano iperbolico, sul piano proiettivo un po' meno

Se non mi sbaglio, in uno spazio proiettivo reale $\mathbb{RP}^n$ con la metrica che viene dalla proiezione classica $S^n\to\mathbb{RP}^n$, i sostegni delle geodetiche (complete e non costanti) sono tutte e sole le rette dello spazio, nel senso dell'algebra lineare.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Questo lo vedo appunto considerando $\mathbb{RP}^n$ come il quoziente della sfera $S^n$ rispetto all'identificazione dei punti antipodali, dotato della metrica che rende la proiezione $\pi:S^n\to\mathbb{RP}^n$ una isometria locale. Dato un punto $P$ di $\mathbb{RP}^n$, c'è un suo intorno $U$ (di fatto tutto $\mathbb{RP}^n$ tolto un iperpiano esterno a $P$) che è isometrico alla sottovarietà $n$-dimensionale
\[ M=\{(x_0,\cdots,x_n)\in\mathbb R^{n+1} : x_0^2+\cdots+x_n^2-1=0, x_0 < 0\} \]
di $\mathbb R^{n+1}$, con la corrispondenza tra $U$ e $M$ fatta in modo tale che il polo sud $S=(-1,0,\cdots,0)\in M$ sia l'immagine di $P$. Per ogni vettore unitario $(v_1,\cdots,v_n)\in\mathbb R^n$ abbiamo che la curva
\[ \gamma : (-\pi/2,\pi/2) \to U : t \mapsto O + \cos t\cdot(-1,0,\cdots,0) + \sin t\cdot(0,v_1,\cdots,v_n) \]
è la geodetica di $M$ passante per $S$ all'istante $t=0$ con velocità $\mathbf v=(0,v_1,\cdots,v_n)$ (il suo vettore tangente $\dot\gamma$ ha modulo costante e il suo vettore di curvatura $\ddot\gamma$ nella varietà ambiente $\mathbb R^{n+1}$ è in ogni punto perpendicolare a $M$). Siccome al variare di $(v_1,\cdots,v_n)$ tra i vettori unitari in $\mathbb R^n$ si ottengono tutti i vettori unitari $\mathbf v$ tangenti a $M$ in $S$, abbiamo che tutti gli archi di geodetica massimali e non costanti di $M$ passanti per $S$ si ottengono in questo modo, a meno di riparametrizzazioni, e quindi le loro preimmagini sono tutti e soli gli archi di geodetica di $\mathbb{RP}^n$ passanti per $P$ e contenuti in $U$. D'altra parte, trattandosi di curve piane in $\mathbb R^{n+1}$ ottenute intersecando $M$ con tutti e soli i 2-piani passanti per $O$ e per $S$, sono anche le immagini delle intersezioni tra $U$ e tutte e sole le rette di $\mathbb{RP}^n$ passanti per $P$. Mi pare che il ragionamento sia corretto.

Trattandosi di rette proiettive reali, hanno la topologia di $S^1$, quindi sono curve chiuse semplici. Perciò data una di queste curve e un paio di punti distinti $P$ e $Q$ su di essa, posso raggiungere $Q$ partendo da $P$ e percorrendo la retta in uno a piacere dei due versi. Se poi $Q$ lo prendo "a metà strada", entrambi gli archi geodetici sono minimizzanti. Quindi dati due punti distinti qualsiasi nello spazio proiettivo ho due diversi archi geodetici che li connettono, perché c'è sempre una retta che li contiene entrambi: anche identificando i punti antipodali della sfera, continuano a esistere geodetiche chiuse e quindi punti uniti da più archi geodetici e in particolare coppie di punti con due diverse strade più brevi che li uniscono, anche se è curioso il fatto che per ogni coppia di antipodi sulla sfera c'è un intero fascio di geodetiche che li unisce mentre nello spazio proiettivo due geodetiche distinte non hanno mai più di un punto in comune.

Su comportamento delle geodetiche su una varietà generica e condizioni di esistenza di più archi minimizzanti, di esistenza di geodetiche chiuse eccetera ho solo qualche nozione sparsa e non troppo convinta per cui spero anch'io che la discussione prosegua