Ciao a tutti,
stavo rivedendo degli appunti di sistemi ingresso-uscita lineari e invarianti rispetto al tempo, da applicare poi alla modellazione afflussi-deflussi in idrologia.
Per analizzare questo tipo di sistemi, si partiva dal "delta di Dirac" e dalla risposta impulsiva fino a giungere alla stesura dell'integrale di convoluzione dal quale si può ottenere l'output da un sistema cui è applicato un ingresso generico e del quale di conosce appunto la funzione di risposta impulsiva.
Immagino che per chi frequenta questo forum la spiegazione sia molto semplice, molto più di quanto non lo è per me, che dagli appunti, ma anche da diverse dispense trovate in rete (tratte da corsi di segnali) non mi convince appieno. Eppure non è nulla di complicato, solo lo trovo spiegato in modo intuitivo e mi farebbe comodo qualche commento, conferma ecc...
\(\displaystyle
\begin{align}
\delta(t) =
\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \mbox{if } x \neq 0 \\
+\infty & \mbox{if } t = 0
\end{array}
\right.
\\
\\
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(\tau) d\tau = 1
\\
\\
f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\delta(t-\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t-\tau)\delta(\tau) d\tau
\end{align}
\)
L'ultima se non sbaglio è la proprietà "setaccio" (sifting..).
Anche se non ho capito bene il perchè dell'equivalenza finale, cioè se è una definizione oppure se deriva da qualcosa di dimostrabile (facilmente):
\(\displaystyle
\begin{align}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\delta(t-\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t-\tau)\delta(\tau) d\tau
\end{align}
\)
Ok, e fin qui sono praticamente definizioni...
Poi considerando il nostro sistema, che ipotizziamo appunto lineare e invariante nel tempo, ne definiamo la "risposta impulsiva" come la risposta che si ottiene a seguito di un ingresso impulsivo, cioè di un ingresso delta di Dirac. E chiamiamo questa funzione di risposta impulsiva:
\(\displaystyle
\begin{align}
u(t)
\end{align}
\).
Confermatemi se ho capito bene:
sollecito il sistema all'istante \(\displaystyle \tau \) con \(\displaystyle \delta(\tau) \) ed ottengo in uscita \(\displaystyle u(t-\tau) \).
A questo punto vi chiederei come si giunge al seguente punto d'arrivo: se sollecito il sistema con un ingresso generico i(t), l'uscita q(t) sarà l'integrale di convoluzione di i e u:
\(\displaystyle
\begin{align}
q(t) = \int_0^t i(\tau) u(t-\tau) d\tau
\end{align}
\).
Come dimostrarlo?
Da quanto ho capito bisogna osservare appunto le proprietà dei sistemi lineari e tempo invarianti. Ma vi chiederei anche una vostra spiegazione per togliermi qualche dubbio.
Grazie mille in anticipo!