Non riesco a capire come calcolare la coordinata $z$ del baricentro del solido (supposto omogeneo) limitato dalle superfici di equazioni $ x^2+y^2=1 $ , $ z=0 $ , $ z=2+|xy| $.
Ho provato ad integrare in coordinate cilindriche $ { ( x=\rho\cos(\theta) ),( y=\rho\sin(\theta) ),( z=z ):}\qquad\rho\in[0,1],\theta\in[0,\frac{\pi}{2}],z\in[0,\rho^2cos(\theta)\sin(\theta)+2] $
$ z_G=\frac{int int int_(V)^() z\ dx dy dz}{Vol(V)} $
Siccome c'è simmetria mi basta fare l'integrazione su un quadrante. Per comodità uso il primo quadrante, quindi $ |xy|+2=xy+2 $
- Calcolo $ Vol(V)=4int_{0}^{\frac{\pi}{2}} int_{0}^{1} int_(0)^(\rho^2cos(\theta)sin(\theta)+2)\rho\ d\rho d\theta dz=\cdots=2\pi +\frac{1}{2}$ (giusto?)
- Calcolo $ int int int_(V)^() z\ dx dy dz = $ $ 4int_{0}^{\frac{\pi}{2}} int_{0}^{1} int_(0)^(\rho^2cos(\theta)sin(\theta)+2)z\rho\ d\rho d\theta dz=4int_{0}^{\frac{\pi}{2}} int_{0}^{1} (\rho^2cos(\theta)sin(\theta)+2)^2\rho\ d\rhod\theta =....?$
Come si risolve quest'ultimo integrale?
Grazie!
Mauri