Problema di Dirichlet in un dominio non limitato

[berilio]

Salve, vorrei chiedere un chiarimento su un passaggio riguardante la non unicità della soluzione di un problema di Dirichlet in un dominio non limitato. Scusate se non è la sezione corretta per questa domanda.

Il passaggio è il seguente:


L'intento è dimostrare la non unicità provando l'esistenza di due soluzioni differenti (\(\displaystyle log|x| \) o \(\displaystyle x^{(2-n)}-1 \), a seconda di n, e \(\displaystyle x_n \))? E' possibile nonostante siano definite su domini diversi ({\(\displaystyle x \in R^n | |x|>1 \)} nel primo caso e {\(\displaystyle x \in R^n | x_n > 0 \)} nel secondo)?

[gugo82]

Dato che la PDE è lineare ed omogenea con condizioni al bordo nulle, per noti fatti di teoria, se ci fosse unica soluzione al problema, essa sarebbe quella identicamente nulla; ma il testo ha appena trovato altre soluzioni non banali, quindi...

Gli esempi riportati mostrano anche che, in generale, nemmeno restringendosi allo spazio delle funzioni limitate si riesce a garantire unicità.

[berilio]

Benissimo, grazie mille