Significato corrispondenza one-to-one

[martif.94]

Ciao a tutti, sto preparando un esame di Complementi di Algebra, ma sto avendo delle difficoltà nella comprensione di alcuni argomenti. Inizio con il primo dubbio:
Una proposizione afferma che , dato $F(\alpha)$ un'estensione semplice di un campo $F$ e $\Omega$ un secondo campo contenente $F$:
-se $\alpha$ è trascendente allora $\forall$ $F$-omomorfismo $\varphi: F(\alpha) \to \Omega $, $\varphi(\alpha)$ è trascendente su $F$ ed esiste una corrispondenza univoca (one-to-one) della mappa $\varphi \mapsto \varphi(\alpha)$.
Cosa significa questa corrispondenza univoca? Si prova l'esistenza di una'applicazione che associa un elemento trascendente di $F(\alpha)$ un altro in $\Omega$ ?
Un'altra cosa: nella dimostrazione c'è scritto che , essendo $\alpha$ un elemento trascendente, $F[\alpha]$ è isomorfo all'anello dei polinomi nel simbolo $\alpha$ con coeff in $F$, ma non è proprio la definizione di $F[\alpha]$?

Per quanto riguarda la teoria di Galois, ho iniziato da poco a studiarla ma, perchè vengono coinvolti gli automorfismi? Non riesco a capire il collegamento tra essi e l'esistenza o meno di radici in un polinomio di grado superiore al quarto..

Mi rendo conto che sono domande banali , ma prima di procedere con altri argomenti vorrei che le parti precedenti fossero tutte chiare!

EDIT: avevo denominato in due diversi modi lo stesso omomorfimo $\varphi$

[killing_buddha]

Ciao a tutti, sto preparando un esame di Complementi di Algebra, ma sto avendo delle difficoltà nella comprensione di alcuni argomenti. Inizio con il primo dubbio:
Una proposizione afferma che , dato $F(\alpha)$ un'estensione semplice di un campo $F$ e $\Omega$ un secondo campo contenente $F$:
-se $\alpha$ è trascendente allora $\forall$ $F$-omomorfismo $\phi: F(\alpha) \to \Omega $, $\varphi(\alpha)$ è trascendente su $F$ ed esiste una corrispondenza univoca (one-to-one) della mappa $\phi \mapsto \varphi(\alpha)$.
Cosa significa questa corrispondenza univoca? Si prova l'esistenza di una'applicazione che associa un elemento trascendente di $F(\alpha)$ un altro in $\Omega$ ?

Stai dicendo che se \(\varphi\) è un morfismo di anelli che fissa $F$, esso è determinato da dove mandi $\alpha$; in più, questo elemento è trascendente se $\alpha$ era trascendente (ma la definizione di trascendenza non ha senso se non relativa a un campo, devi stare attent*). Dimostra questo fatto per assurdo.

Un'altra cosa: nella dimostrazione c'è scritto che , essendo $\alpha$ un elemento trascendente, $F[\alpha]$ è isomorfo all'anello dei polinomi nel simbolo $\alpha$ con coeff in $F$, ma non è proprio la definizione di $F[\alpha]$?

No, assolutamente: se $E|F$ è un'estensione di campi, $F[\alpha]$ è definita come l'immagine del morfismo di valutazione
\[
\text{ev}_\alpha : F[X] \to E : p(X) \mapsto p(\alpha)
\] $\alpha$ è trascendente se e solo se questa mappa $F$-lineare è iniettiva; se non lo è, il suo nucleo ha un generatore monico (perché $F[X]$ è un PID) che si chiama $\min(E,\alpha)$, il polinomio minimo di $\alpha$. Ora, ogni monomorfismo di anelli integri si estende ad un omomorfismo non banale tra i rispettivi campi delle frazioni, dunque nel caso in cui $\alpha$ sia $F$-trascendente \(\text{im}(\text{ev}_\alpha)\cong F(X)\). Sostanzialmente, questo morfismo è iniettivo, per definizione di trascendenza, ed è suriettivo sulla sua immagine per il primo teorema di isomorfismo (dentro $E$ c'è una copia isomorfa di $F[X]$, esattamente $F[\alpha]$).

Per quanto riguarda la teoria di Galois, ho iniziato da poco a studiarla ma, perchè vengono coinvolti gli automorfismi? Non riesco a capire il collegamento tra essi e l'esistenza o meno di radici in un polinomio di grado superiore al quarto..

Lo capirai alla fine del corso, mettendo insieme i pezzi: sostanzialmente, ad un polinomio associ un gruppo $G(p)$ finito (questo gruppo è il gruppo di Galois della estensione $E|F$ ottenuta aggingendo a $F$ tutte le radici di $p\in F[X]$), che quindi puoi rappresentare fedelmente come sottogruppo di $Sym(n)$ per qualche $n\ge 2$, che ha una proprietà (detta risolubilità) se e solo se potevi trovare una risolvente algebrica per il polinomio; l'esistenza di risolventi per polinomi di grado alto è un corollario del fatto che i gruppi simmetrici su $n\le 4$ lettere sono troppo piccoli per essere risolubili.

[martif.94]

Stai dicendo che se \(\varphi\) è un morfismo di anelli che fissa $F$, esso è determinato da dove mandi $\alpha$;

Perdona la mia stupidità, ma non riesco a capire..

(ma la definizione di trascendenza non ha senso se non relativa a un campo, devi stare attent*).

Sì giusto. $\alpha$ è trascendente su F.

Un'altra cosa: nella dimostrazione c'è scritto che , essendo $\alpha$ un elemento trascendente, $F[\alpha]$ è isomorfo all'anello dei polinomi nel simbolo $\alpha$ con coeff in $F$, ma non è proprio la definizione di $F[\alpha]$?

No, assolutamente: se $E|F$ è un'estensione di campi, $F[\alpha]$ è definita come l'immagine del morfismo di valutazione
\[
\text{ev}_\alpha : F[X] \to E : p(X) \mapsto p(\alpha)
\]

Andando a rivedere sul libro , mi sono accorta che $F[\alpha]$ lo definisce come "Stem field" , cioè la coppia $(E,\alpha)$ dove $E$ è l'estensione di un campo $F$ e $\alpha \in E$ è la radice di un polinomio monico irriducibile in $F[X]$. Come si potrebbe tradurre Stem field in italiano?

Per quanto riguarda la teoria di Galois [...] perchè vengono coinvolti gli automorfismi?

Lo capirai alla fine del corso, mettendo insieme i pezzi: sostanzialmente, ad un polinomio associ un gruppo $G(p)$ finito (questo gruppo è il gruppo di Galois della estensione $E|F$ ottenuta aggingendo a $F$ tutte le radici di $p\in F[X]$), che quindi puoi rappresentare fedelmente come sottogruppo di $Sym(n)$ per qualche $n\ge 2$, che ha una proprietà (detta risolubilità) se e solo se potevi trovare una risolvente algebrica per il polinomio; l'esistenza di risolventi per polinomi di grado alto è un corollario del fatto che i gruppi simmetrici su $n\le 4$ lettere sono troppo piccoli per essere risolubili.

Però non riesco a capire dove hai utilizzato gli automorfismi...

[killing_buddha]

Perdona la mia stupidità, ma non riesco a capire..

$F(\alpha)$ è un $F$-spazio vettoriale che ha \(\{\alpha^k\mid k\ge 0\}\) come base; dunque ogni elemento di $F(\alpha)$ si scrive come \(\sum x_k\alpha^k\) per un'unica successione di combinatori $x_k$. Un omomorfismo $F$-lineare $\varphi$, che è anche un omomorfismo di $F$-algebre, ora è determinato da dove manda $\alpha$ per un motivo molto ovvio. Trovalo.

Andando a rivedere sul libro , mi sono accorta che $F[\alpha]$ lo definisce come "Stem field" , cioè la coppia $(E,\alpha)$ dove $E$ è l'estensione di un campo $F$ e $\alpha \in E$ è la radice di un polinomio monico irriducibile in $F[X]$. Come si potrebbe tradurre Stem field in italiano?

Non lo so; in molti modi, credo.

Però non riesco a capire dove hai utilizzato gli automorfismi...

Come è definito il gruppo di Galois di una estensione di campi?

[martif.94]

$F(\alpha)$ è un $F$-spazio vettoriale che ha \(\{\alpha^k\mid k\ge 0\}\) come base; dunque ogni elemento di $F(\alpha)$ si scrive come \(\sum x_k\alpha^k\) per un'unica successione di combinatori $x_k$. Un omomorfismo $F$-lineare $\varphi$, che è anche un omomorfismo di $F$-algebre, ora è determinato da dove manda $\alpha$ per un motivo molto ovvio. Trovalo.

Allora cerco di ragionare perchè non sto capendo più nulla.
Sulla definizione di $F$-spazio vettoriale ci sono. Invece il concetto di "$F$-algebra" non l'avevo mai trovato, che io ricordi. Cercando un po' su internet ho trovato che un omomorfismo di algebre è lo stesso, definito però su due algebre. Queste ultime sono degli spazi vettoriali definiti su di un campo con un'operazione binaria. Dovrebbe essere un'estensione con (in più) un'operazione (????).
Ora,un omomorfismo $F$-lineare $\varphi$ è definito da $F(\alpha) \to \Omega$ ed è tale che $\varphi(a)=a \quad \forall a \in F$. L'omomorfismo $\varphi$ dipende dal grado di $\alpha$ nell'estensione?

Come è definito il gruppo di Galois di una estensione di campi?

Il gruppo di Galois $Gal(E|F)$ di un'estensione di campi è il gruppo degli automorfismi relativi ad un'estensione di Galois.
Ma perchè proprio gli automorfismi?

[killing_buddha]

Allora cerco di ragionare perchè non sto capendo più nulla.
Sulla definizione di $F$-spazio vettoriale ci sono. Invece il concetto di "$F$-algebra" non l'avevo mai trovato, che io ricordi. Cercando un po' su internet ho trovato che un omomorfismo di algebre è lo stesso, definito però su due algebre. Queste ultime sono degli spazi vettoriali definiti su di un campo con un'operazione binaria. Dovrebbe essere un'estensione con (in più) un'operazione (????).
Ora,un omomorfismo $F$-lineare $\varphi$ è definito da $F(\alpha) \to \Omega$ ed è tale che $\varphi(a)=a \quad \forall a \in F$. L'omomorfismo $\varphi$ dipende dal grado di $\alpha$ nell'estensione?

Cosa deduci dal fatto che $\varphi$ rispetta l'operazione di moltiplicazione, quando applichi $\varphi$ ad un elemento di $F(\alpha)$?

Come è definito il gruppo di Galois di una estensione di campi?

Il gruppo di Galois $Gal(E|F)$ di un'estensione di campi è il gruppo degli automorfismi relativi ad un'estensione di Galois.
Ma perchè proprio gli automorfismi?

No, ed e' importante che tu capisca perche' no. Rileggi la definizione, o leggi queste note che ho scritto: la definizione del gruppo di Galois di una estensione e' la 4.1; la dimostrazione del fatto di cui chiedi conto nel post di apertura, tra l'altro, e' la Proposizione 2.1.

[killing_buddha]

Il punto e' che sia il gruppo di Galois di un'estensione, sia il reticolo dei campi intermedi, esistono sempre; in una estensione di Galois questi reticoli sono anti-isomorfi, e il punto della teoria di Galois e' studiare un reticolo mediante l'altro.

Del resto e' pieno di situazioni interessanti in cui questo setting estremamente elementare va perduto; quando $E|F$ e' un'estensione di grado infinito, non c'e' speranza di poter rappresentare \(\text{Gal}(E|F)\) come sottogruppo di un gruppo simmetrico; tuttavia (ed e' un teorema piuttosto profondo) ogni tale gruppo e' un gruppo profinito, ossia e' isomorfo al limite inverso dei vari \(\text{Gal}(E|F_\lambda)\) al variare delle estensioni $F_\lambda|F$ che hanno grado finito su $F$.

Questo teorema ti permette di dotare \(\text{Gal}(E|F)\) di una topologia, la topologia profinita, che ha per base l'insieme delle classi laterali di sottogruppi di indice finito. Rispetto a questa topologia, \(\text{Gal}(E|F)\) e' un gruppo topologico, cioe' le operazioni di gruppo sono continue e la componente connessa dell'identita' ha un sacco di proprieta' fighe. La corrispondenza di Galois diventa allora una biiezione, per estensioni "fatte bene", tra estensioni intermedie e sottogruppi chiusi di \(\text{Gal}(E|F)\).

La cosa che secondo me e' davvero figa e' pero' che questo stesso setting porta a copiare la teoria di Galois quando l'oggetto del tuo interesse non soo piu' le equazioni polinomiali ma quelle differenziali. In quel contesto, puoi definire il gruppo degli automorfismi di $F(z)|F$, dove $F$ e' un campo differenziale e $z$ la soluzione di una equazione differenziale a valori in $F$. Qui \(\text{Gal}(F(z)|F)\) e' il gruppo degli automorfismi di $F(z)$ che fissano $F$, come per l'algebra, ma invece che rappresentazioni in termini di gruppi simmetrici devi studiarne rappresentazioni in gruppi di matrici.

[martif.94]

Cosa deduci dal fatto che $\varphi$ rispetta l'operazione di moltiplicazione, quando applichi $\varphi$ ad un elemento di $F(\alpha)$?

Spero sia solo la grossa confusione che ho in questo momento a non farmi ragionare. Questa sera riprendo in problema e ci ripenso. Intanto grazie per la pazienza!
Leggerò anche la tua risposta sulla teoria di Galois!

[martif.94]

Per sbaglio ho risposto dall'account di un'altra ragazza , perchè l'aveva lasciato aperto sul mio pc.
Ecco cosa avevo scritto:

Stai dicendo che se \(\varphi\) è un morfismo di anelli che fissa $F$, esso è determinato da dove mandi $\alpha$;

Provo a rispondere alla domanda che mi avevi fatto su $\alpha$. Sia $\varphi$ un omomorfismo tale che $\alpha \mapsto \varphi(\alpha)$ ed essendo $\alpha$ nel dominio, $\varphi$ dipenderà da dove manda $\alpha$.

Ora ho una domanda "basilare". L'esistenza di omomorfismi o isomorfismi, concettualmente, cosa comporta? Un omomorfismo in un certo senso conserva le operazioni di una struttura, ma in questo caso a cosa può servire?

[killing_buddha]

Provo a rispondere alla domanda che mi avevi fatto su $\alpha$. Sia $\varphi$ un omomorfismo tale che $\alpha \mapsto \varphi(\alpha)$ ed essendo $\alpha$ nel dominio, $\varphi$ dipenderà da dove manda $\alpha$.

In matematica determinato è un sinonimo di univocamente determinato; nella fattispecie, la locuzione "il morfismo $f$ è univocamente determinato dall'immagine di $\alpha$" significa che se $f(\alpha)=g(\alpha)$ per un altro morfismo $g$, allora $f$ coincide con $g$ su ogni elemento. Questo è ciò che devi dimostrare.

Ora ho una domanda "basilare". L'esistenza di omomorfismi o isomorfismi, concettualmente, cosa comporta? Un omomorfismo in un certo senso conserva le operazioni di una struttura, ma in questo caso a cosa può servire?

Stai facendo una domanda che è troppo presto per fare.