Esercizio su integrale curvilineo

[frev]

Ciao,vi posto un esercizio su un integrale curvilineo che sono sicuro di aver sbagliato:( e spero in qualche consiglio:

Calcolare il seguente integrale curvilineo: $ int_(gamma +)^( )y dx - xdy $

ove $ gamma + $ è la frontiera,percorsa in senso antiorario,del dominio D: $ { ( (x,y)in R^2|0<= x<= 1,sqrt(x)<=y<= sqrt(2-x^2) ):} $

Ho provato a risolverlo cosi:(ho notato che la forma differenziale è chiusa ed esatta,ma non ho saputo utilizzare la cosa)

utilizzo le formule di Gauss-Green,per cui $ int_(gamma+ )^() y dx = -int int_(D)^()1dx dy $ e $ int_(gamma+ )^() x dy = int int_(D)^()1dx dy $

quindi ho : $ int_(gamma +)^( )y dx - xdy $ $ =-int int_(D)^()1 dx dy -int int_(D)^() 1dx dy $

Svolgendo i calcoli:

$ -int int_(D)^()1 dx dy = int_(sqrt(x) )^(sqrt(2-x^2) ) (int_(0)^(1) 1 dx ) dy=-x(sqrt(2-x^2)-sqrt(x)) $

quindi $ int_(gamma +)^( )y dx - xdy $ $ =-2x(sqrt(2-x^2) -sqrt(x)) $

Sono arrivato a questa conclusione,ma nutro forti dubbi sulla riuscita della soluzione,che ne dite?

[singularity]

Beh, il fatto che la forma differenziale sia esatta su $RR^2$ ti assicura che, integrandola su qualsiasi cammino chiuso (quale è quello in questione) otterrai sempre 0. Questo è un risultato fondamentale nello studio dei campi vettoriali/forme differenziali, ce ne sono diverse versioni. In moltissimi casi ti facilita la vita, senza bisogno di svolgere integrali su integrali.

[frev]

Verissimo,troppo preso dai calcoli (peraltro evidentemente sbagliati) da non ricordare il teorema di caratterizzazione delle forme esatte.Grazie della risposta singularity

[frev]

però mi resta sempre un dubbio,in questo caso ho verificato che la forma differenziale è esatta e chiusa,ma la chiusura della curva come la determino?So che per definizione in un intervallo chiuso e limitato [a,b] una curva si dice chiusa se $ gamma (a)=gamma (b) $ ,ma in questo caso come faccio a determinare la chiusura della curva?

[singularity]

Direi che la via grafica è la più funzionale. In questo caso il dominio è y-semplice ed è abbastanza facile da disegnare, a quel punto è evidente che la sua frontiera è una curva chiusa.

[frev]

Grazie.

[frev]

Rivedendo questo esercizio credo che ci siano alcuni errori,ad iniziare dal fatto che la forma differenziale non è ne chiusa ne esatta.Quindi dopo aver disegnato il grafico(che è quella parte di piano del primo quadrante compresa tra la circonferenza di equazione $ x^2+y^2=2 $,la parabola $ x=y^2 $ ,l'asse delle ordinate e la retta di equazione $ x=1 $ )la via più semplice credo sia utilizzare le formule di Gauss Green e si ha:

$ int_(gamma )^() y dx-xdy =int int_(D)^()(b_x-a_y) dx dy =int int_(D)^() -1-1dx dy $

svolgendo i calcoli si ha :

$ int_(0)^(1) dxint_(sqrtx)^(sqrt(2-x^2)) -2 dy =1/3-2arcsin(1/sqrt2) $

[singularity]

Le derivate miste non sono entrambe uguali a zero?

[frev]

Ciao singularity,non so se sbaglio ma a me risulta $ a_y=1 $ e $ b_x=-1 $

[singularity]

Errore mio.