Funzione composta

[killing_buddha]

Quel che ho detto io è che non è vero che "ci sono due scuole". in Set c'è solo una definizione possibile per la composizione di funzioni, e il problema posto da OP non esiste perché una funzione ha sempre dominio totale.

Nella categoria degli insiemi e funzioni parziali, quelle cioè definite solo su un sottoinsieme del loro dominio, invece, è ben possibile che il dominio dell'una funzione sia disgiunto dalla immagine dell'altra; in tal caso la composizione è la funzione vuota, ovvero quella (unica) che ha dominio vuoto.

Tuttavia (sia per te, che ho l'impressione non abbia chiaro questo punto, che per l'OP) è importante capire due cose:

1. in pSet la funzione $\log : \mathbb R \to \mathbb R$ è diversa dalla funzione $\log : \mathbb R \setminus \{0\} \to \mathbb R$ nel senso che è davvero una funzione diversa a tutti gli effetti sebbene le due facciano la stessa cosa su tutti gli elementi di $\mathbb R$ dove sono definite: una funzione è una terna, e due terne sono uguali se e solo se coincidono coordinata per coordinata. In sintesi, pSet contiene Set ma è enormemente più grande (prova a pensare: quanto?)

2. Ti invito caldamente a provare a dimostrare che pSet e Set sono molto diverse (e a capire in che senso). Anche un argomento informale va bene, ma lo trovo un esercizio istruttivo su un punto fondamentale, che non è mai tardi per fissare in mente una volta per tutte.

3. Una terza cosa che è emersa è che sei convinto che la teoria delle categorie esista come "opposta" alla fondazione insiemistica. Questo è falso. La teoria delle categorie non ha (quasi) nulla di fondazionale, è solo il modo corretto di pensare agli oggetti della matematica. E corretto, qui, ha un valore tecnico: il punto di vista categoriale derubrica a un inutile bizantinismo la teoria delle "condizioni di esistenza" per funzioni (una funzione esiste dove è definita, e più non dimandare). Il tuo confonde due oggetti matematici profondamente distinti (e che devono restarlo, pena la confusione che ha generato il suddetto bizantinismo di cui sono vittima legioni di studenti).

[Luca.Lussardi]

La speculazione non fa per me, mi dispiace. Sono convinto che l'autore del topic rabbrividisca a sentir parlare di pset e set, stiamo coi piedi per terra davanti agli studenti, poi chi vuol fare questi voli e' liberissimo di farli.

[killing_buddha]

Non è speculazione, è buon senso. E non vedo il motivo per piegare il buon senso ai brividi di un discente. Che tremi pure, è la febbre che fa crescere le ossa.

[Luca.Lussardi]

Non hai colto il punto. Io sono venuto incontro ad una domanda posta da uno studente, presumibilmente al primo anno. Le scuole di cui parlavo si riferiscono al modo di approcciare queste questioni: c'e' chi compone le funzioni affermando che si puo' fare sotto opportune condizioni, c'e' chi compone le funzioni senza condizioni. Questi due modi sono didattici e adatti al primo anno entrambi. E' sicuramente vero quanto hai detto tu, ma non e' la sede per mostrare questo: uno non va a dire ad un bimbo della scuola elementare che dovrebbe fare l'integrale per calcolare l'area del rettangolo.

[killing_buddha]

Nemmeno tu hai colto il punto (che sommariamente è: semplificare abbastanza da rendere digeribile una nozione la travisa e spesso genera incomprensioni che nessuno si cura, mai, di correggere anche da "adulti"), però ormai l'età mi ha insegnato che non importa; se vuoi, fai l'esercizio che ti ho lasciato. Faccio fatica a credere che uno che ha un dottorato in matematica faccia confusione tra funzioni e funzioni parziali.

[Luca.Lussardi]

Qui preferisco aiutare gli studenti in difficolta'. Ho un dottorato e non avevo mai sentito parlare di funzioni parziali. Pazienza, nessuno e' perfetto del resto.

[Luca.Lussardi]

Giusto per dovere di cronaca mi sono informato sulla differenza tra funzione e funzione parziale... scoprendo che cio' che io intendo per funzione e' cio' che viene chiamata (anche se non l'ho mai sentito) funzione parziali.

[killing_buddha]

Se vuoi approfondire, https://ncatlab.org/nlab/show/partial+function

[Luca.Lussardi]

Ho visto, curioso, per altro per me gli insiemi non sono mai assegnati all'inzio. Per me una relazione $R$ e' solo un insieme di coppie ordinate $(x,y)$, gli elementi di queste coppie non necessariamente dichiarati appartenenti a qualche insieme. Una funzione $f$ e' una relazione tale che $xfy \wedge xfz \Rightarrow y=z$. Da questa definizione uno costruisce due insiemi chiamati dominio di $f$ e immagine di $f$.

[killing_buddha]

gli elementi di queste coppie non necessariamente dichiarati appartenenti a qualche insieme.

...Hai mai fatto un corso di logica?