lo92muse ha scritto:Quindi, ricapitolando $ y(x)=(4y_0e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x)) $ è la risposta al problema dato ed andrà valutata per $ y in [0,4] $.
Questo lo puoi verificare tu stesso.
Comunque, personalmente, visto che ti si chiede uno studio al variare di $y_0 \in [0,4]$, imposterei la trattazione in maniera leggermente diversa.
Ricapitolando :
\( \begin{cases} y'=4y-y^2 \\ y(0)=y_0 \end{cases} \)
dove $y_0 \in [0,4]$.
Iniziamo a tirare fuori un pò di qualità : $ 4y-y^2 $ è una funzione continua su tutto \( \mathbb{R} \), sempre derivabile e con derivata prima continua. Quindi esiste un intorno del punto $(x=0,y_0)$ dove la soluzione esiste ed'è unica.
Iniziamo col caso $y_0=4$ , si vede subito che $y(x)= 4$ è una soluzione del problema in un intorno di $x=0$. Lo stesso vale per il caso $y_0=0$, dove $y(x) = 0 $ risolve il problema in un intorno di $x=0$.
Rimane da trattare il caso $y_0 \in (0,4)$.
Poichè $4y-y^2$ non è mai nulla, possiamo fare moltiplicazioni e divisioni in tutta tranquillità :
$(y')/(4y-y^2) = 1$
Piccolo cambio di variabile $t=x$ per comodità e integriamo :
\( \int_{x_0}^{x} (y(t)')/(4y(t)-y(t)^2)dt = \, \int_{x_0}^{x}1dt \)
Ora di nuovo un cambio di variabile $s= y(t)$. Differenziandolo $ds=y'dt$ e sostituendo:
*(per quanto riguarda gli estremi di integrazione basta ricordarsi che $x_0 = t_0 ->s_0=y(t_0)=y_0 ; s=y(t)=y(x)$) *
\( \int_{y_0}^{y(x)} ds/(4s-s^2) = \, \int_{x_0}^{x}1dt \) che diventa*($x_0=0$)*:
$[(1/4ln|s|-1/4ln|4-s|)]_{y_0}^{y(x)} = x $
Tenuto conto del fatto che $y_0$ e $4-y_0$ sono quantità sempre strettamente positive :
$ln|y(x)-ln|4-y(x)|-ln(y_0)+ln(4-y_0)=4x$
Bisogna richiedere inoltre che oltre che nel punto $x=0$, la $y(x)$ sia sempre strettamente limitata dalle rette $y=0$ e $y=4$ (questo deriva dal fatto che la $y(x)$ è almeno una funzione continua e non potendosi annullare, né assumere il valore $4$, è costretta tra queste due rette a causa delle condizioni iniziali che la definiscono, in quest'ultimo caso, strettamente positiva in $x=0$):
$ln(y(x))-ln(4-y(x))-ln(y_0)+ln(4-y_0)=4x$
Dopo opportune manipolazioni :
$y(x) = (4y_0e^(4x))/(4-y_0+y_0e^(4x))$
che è l'unica soluzione del problema iniziale, per $y_0 \in (0,4)$ , almeno in un opportuno intorno del punto $(x,y)= (0,y_0)$.