Generalizzazione teorema di Heine-Cantor

[otta96]

Stavo riflettendo sul teorema di Heine-Cantor (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Heine-Cantor) e stavo pensando alla possibilità di generalizzarlo (avendo già capito come si generalizza il teorema di Weierstrass), in particolare provando a cambiare le ipotesi sul dominio, stavo pensando a cose come compattezza per successioni, compattezza numerabile e pseudocompattezza, ma poi mi sono reso conto che dovendo parlare di funzioni uniformemente continue abbiamo bisogno di spazi metrici, solo che lì le nozioni sono tutte equivalenti.
A quel punto mi è venuto in mente che in realtà per poter parlare di funzioni uniformemente continue in realtà ci bastano gli spazi uniformi (https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_uniforme), per i quali le nozioni che ho detto prima sono in effetti, in generale, diverse.
Io con gli spazi uniformi non ho molta familiarità, quindi di sicuro non mi riuscirebbe capire se si può generalizzare Heine-Cantor nel modo detto prima, quindi sto scrivendo a voi per chiedervi come vanno le cose in questo problema, mandate pure link e/o pdf da leggere.
Grazie in anticipo.

[killing_buddha]

http://planetmath.org/heinecantortheorem

Qui e' citato senza dimostrazione il fatto che HC vale per spazi uniformi; interrogherei un libro di topologia generale in maniera astuta (tipo, scaricane molti e fai una ricerca per stringhe di testo).

[otta96]

Che valeva per spazi compatti lo avevo trovato scritto pure io, solo che non l'ho mai visto citato con un'ipotesi diversa dalla compattezza.

[otta96]

Ho cercato in molto libri, ma non ho trovato niente del genere, mi sono fatto l'idea che i libri di topologia generale non siano la cosa giusta su cui cercare, ci vorrebbe qualche articolo specifico.

[otta96]

C'è un modo per esprimere la uniforme continuità guardando lo spazio uniforme dal punti di vista delle pseudometriche?

[killing_buddha]

C'è un modo per esprimere la uniforme continuità guardando lo spazio uniforme dal punti di vista delle pseudometriche?

Una funzione $\psi : X \to Y$ tra spazi uniformi è uniformemente continua se e solo se induce una pseudometrica su $X$ "per controimmagine" di ogni pseudometrica limitata su $Y$.

Più precisamente, data una funzione $\psi : X\to Y$ e una pseudometrica \(\delta_Y \in \text{PsdMt}(Y)\), definisci \(\psi^*\delta_Y \in \text{PsdMt}(X)\) come la composizione
\[
\begin{CD}
X\times X @>\psi\times\psi>> & Y\times Y @>\delta_Y>> [0,+\infty).
\end{CD}
\] $\psi$ è uniformemente continua se e solo se \(\psi^*\delta_Y\) è una pseudometrica su $X$ per ogni $\delta_Y$ pseudometrica limitata.

[otta96]

Grazie della spiegazione, comunque ho trovato questo articolo che mi è sembrato interessante: https://cms.math.ca/openaccess/cjm/v13/ ... 7-0663.pdf, in particolare i remarks 4 a pagina 661, dove parla della pseudocompattezza, che mi sembra promettente, ma non capisco bene che dice, potresti darci un'occhiata?

[killing_buddha]

In generale mi sembra irragionevole aspettarsi che esista un teorema come quello che vuoi (ma tuttora non ho ben chiaro cosa vuoi, sicché non posso dirlo), o che sia estremamente difficile indebolire le ipotesi affinché sia vero.

Il paper che hai linkato è un punto di partenza, ma nota che lì ci si concentra sulle ipotesi minimali da imporre alla uniformità di $X$ affinché ogni funzione $f : X \to \mathbb R$ sia uniformemente continua. Tu vorresti delle ipotesi minimali su $X$ affinché $f : X \to Y$ sia uniformemente continua, e queste ipotesi dipenderanno da $Y$ in maniera irremovibile. Nota che $\mathbb R$ ha un ruolo privilegiato in questo ambiente, perché in esso assumono valori le pseudometriche che definiscono la struttura di uniformità.

Io cercherei di concentrarmi sul generalizzare per gradi a diversi $Y$ la nozione di "spazio uc" data nel paper ad una nozione di "uc(Y)-spazio". Per esempio, cos'è un $\text{uc}(\mathbb R^n)$-spazio? Cos'è un $\text{uc}(S^1)$-spazio? Cos'è un $\text{uc}(S^n)$-spazio?

Il teorema poi dice questo:

Uno spazio uniforme $X$ è uc se e solo se ogni successione di sottoinsiemi $A_n\subseteq X$, discretamente e normalmente separati da una qualche successione di insiemi $B_n\subseteq X$, è uniformemente separata da questi ultimi.

Non vedo come generalizzare a $Y$ la condizione in rosso: significa essenzialmente che i $B_n$ sono "staccati" tra loro, ed esiste una funzione $f : X \to [0,1]$ che vale 1 sugli $A_n$ e 0 sui complementari dei $B_n$.

[dissonance]

Scusate l'intrusione.

Ho cercato in molto libri, ma non ho trovato niente del genere, mi sono fatto l'idea che i libri di topologia generale non siano la cosa giusta su cui cercare, ci vorrebbe qualche articolo specifico.

Consulta il Kelley, capitolo 6. (Quel libro mi è stato segnalato da Fioravante Patrone). Se vuoi qualcosa di più moderno consulta lo Schechter, "Handbook of analysis and its foundations", pag.490.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

In ogni caso questo concetto di spazio uniforme mi sembra un arnese un po' fuori moda, è per questo che sembra sparito dai libri nuovi. E per quanto riguarda lo Schechter, questo consiglio datomi da Gugo tempo fa mi sembra molto adeguato.

[otta96]

In generale mi sembra irragionevole aspettarsi che esista un teorema come quello che vuoi (ma tuttora non ho ben chiaro cosa vuoi, sicché non posso dirlo), o che sia estremamente difficile indebolire le ipotesi affinché sia vero.

Cerco di spiegare cosa sto cercando un po' meglio: in pratica ultimamente ho scoperto che il teorema classico di Weierstrass (per funzioni continue da $[a,b]$ in $RR$) si può generalizzare parecchio, il primo passo è dire che vale per una funzione continua da un compatto in $RR$, poi si può indebolire l'ipotesi sul dominio a numerabilmente compatto, e infine questo procedimento si porta a conclusione introducendo il concetto di pseudocompattezza.
Però si può generalizzare anche il un'altra direzione, ovvero prendendo funzioni semicontinue piuttosto che continue, ad esempio una funzione s.c.s. da un compatto a $RR$ ammette massimo; anche di qua rilassando le ipotesi sul dominio fino alla compattezza numerabile continua a valere, la cosa strana che ho notato è che a quanto pare non esiste una generalizzazione comune seguendo queste due possibili direzioni (uno spazio è numerabilmente compatto sse ogni funzione s.c.s. è superiormente limitata).
A questo punto mi è venuta voglia di generalizzare altri teoremi classici dell'analisi/topologia che chiedevano che il dominio di qualche funzione fosse compatto, per vedere quanto si possano indebolire le ipotesi, e mi è venuto in mente Heine-Cantor, quindi io sto cercando di capire se anche in questo caso valgono risultati simili a quelli che ho detto ora (esclusa la parte sulla semicontinuità), per questo avevo pensato a cose come pseudocompattezza, compattezza numerabile e compattezza per successioni (anche se in questo caso non sarebbe propriamente una generalizzazione).
Spero si sia capito meglio cosa sto chiedendo.

Il paper che hai linkato è un punto di partenza, ma nota che lì ci si concentra sulle ipotesi minimali da imporre alla uniformità di $ X $ affinché ogni funzione $ f : X \to \mathbb R $ sia uniformemente continua.

Lo so ma purtroppo è il meglio che sono riuscito a trovare.

Tu vorresti delle ipotesi minimali su $ X $ affinché $ f : X \to Y $ sia uniformemente continua, e queste ipotesi dipenderanno da $ Y $ in maniera irremovibile.

Perché dipende così tanto da $Y$? Nel teorema normale su $Y$ non si chiede nient'altro se non che sia metrico.

Scusate l'intrusione.

Figurati, altre persone che si aggiungono nella discussione sono ben accette.

Consulta il Kelley, capitolo 6. (Quel libro mi è stato segnalato da Fioravante Patrone). Se vuoi qualcosa di più moderno consulta lo Schechter, "Handbook of analysis and its foundations", pag.490.

Per quanto riguarda il Kelley; già fatto , ma purtroppo non ho trovato ciò che mi interessava. Lo Schechter non lo conoscevo, proverò a dargli un'occhiata.