Massimi, minimi e Taylor

Messaggioda dRic » 10/11/2017, 00:50

Stavo leggendo un libro di fisica e mi sono imbattuto nella frase "ogni potenziale con un minimo può essere sempre approssimato ad una parabola, nell'introno del minimo". Si, è una cavolata, ma non ci avevo mai fatto caso e vorrei avere la conferma al 101% (anche se mi pare una cosa ovvia): se faccio lo sviluppo in serie di Taylor in x0 per ogni funzione che presenti un massimo o un minimo, nell'introno di x0 (massimo o minimo), questa funzione sarà sempre approssimabile da una parabola.
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Re: Massimi, minimi e Taylor

Messaggioda killing_buddha » 10/11/2017, 01:07

Sommariamente, l'idea è che attorno al minimo di una funzione regolare a sufficienza, tu possa fare uno sviluppo di Taylor e trovare che
\[
f(x) = f(x_m) + \nabla f(x_m)(x-x_m) + \left\langle H(f, x_m)(x-x_m), x-x_m\right\rangle + o(|x-x_m|^3)
\] dove rispettivamente

  • $x_m$ è il punto di minimo;
  • $\nabla f(x_m)$ è il gradiente della funzione potenziale valutato nel punto di minimo;
  • $H(f,x_m)$ è l'hessiana valutata nel punto di minimo.
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Re: Massimi, minimi e Taylor

Messaggioda Vulplasir » 10/11/2017, 01:14

La frase del libro è un po' imprecisa...che si tratti di massimo, minimo o qualsiasi altro punto (non singolare) una funzione $U(x)$ sufficientemente regolare puó essere approssimata con Taylor, la particolarità dei massimi e minimi è che in essi la derivata (o gradiente) è nulla, quindi al secondo ordine $U$ è approssimata da una forma quadratica $U=1/2ax^2$ (non parlerei di parabola...infatti anche $a+bx+cx^2$ è una parabola...), evitando il concetto di parabola si generalizza meglio anche per campi scalari $U(x,y,z)$ nello spazio, in questo caso nei punti stazionari il potenziale è approssimabile dalla forma quadratica $U=1/2sumsuma_(ij)x_ix_j=1/2vecx*Hvecx$, essendo $H$ la matrice hessiana di U calcolata nel punto stazionario. L'utilità di fare ció è che cosí facendo ottieni una relazione lineare tra forza e potenziale attorno all'equilibrio, il concetto si puó generalizzare anche ai campi tensoriali, per esempio in elasticità lineare attorno a un punto di minimo dell'energia, l'energia elastica viene approssimata al secondo ordine rispetto al tensore della deformazione : $e=1/2epsilon*CCepsilon$, in questo caso $CC$ è un tensore del 4 ordine.

p.s. Mentre scrivevo hanno già risposto, dicendo la stessa cosa.
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Re: Massimi, minimi e Taylor

Messaggioda dRic » 10/11/2017, 15:09

Grazie mille delle risposte. Potrei sapere cosa si intende per funzione "regolare a sufficienza"? E' da intendersi che il minimo non sia, ad esempio, un punto angoloso ?

PS: @killing_buddha potrei sapere, per curiosità, che tipo di notazione è questa? E poi, se non erro, l'o-piccolo non dovrebbe essere alla seconda ?
$⟨H(f,xm)(x−xm),x−xm⟩+o(|x−xm|3)$
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Re: Massimi, minimi e Taylor

Messaggioda Vulplasir » 10/11/2017, 23:57

È la notazione "matematichese" per il prodotto scalare $<a, b>$.
Si nell'o-piccolo dovrebbe esserci un 2 all'esponente, e dovrebbe esserci un fattore 1/2 che moltiplica l'hessiano.
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Re: Massimi, minimi e Taylor

Messaggioda dRic » 11/11/2017, 00:49

Perfetto, grazie tante
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