Buonasera,
vi mostro la dimostrazione che c'è sul mio libro, sul numero di Nepero. Ho diversi dubbi al riguardo, quindi vi riporterò le domande una dietro l'altra. Cosi facendo potrei risolvere per conto mio le altre dopo aver risolte quelle precedenti. Quindi se c'è qualcuno armato di santa pazienza si faccia avanti !!
Cominciamo:
si ponga, per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N};n\ge 1 \), \(\displaystyle a_n=(1+\tfrac{1}{n})^n \).
Si osserva che per \(\displaystyle n=1, a_1=2 \) e inoltre, per la formula del binomio di Newton e per ogni \(\displaystyle n\in\mathbb{N};n\ge 2 \),si ha :
\(\displaystyle a_n=(1+\tfrac{1}{n})^n= **\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \tfrac{1}{n^k}= 1+1+\sum_{k=2}^n \tfrac{n(n-1)...(n.k+1)}{k!}\tfrac{1}{n^k}=2+\sum_{k=2}^n \tfrac{1}{k!}\tfrac{n}{n}\tfrac{n-1}{n}...\tfrac{n-k+1}{n}=2+\sum_{k=2}^n\tfrac{1}{k!}(1-\tfrac{1}{n})...(1-\tfrac{k-1}{n})\).
Da ciò segue che innanzitutto che 2 è il minimo della successione in esame.
domanda perché fa vedere questa catena di uguaglianze, quando benissimo si può osservare che per \(\displaystyle n=1 \) si ottiene il minimo della successione... se è questo l'intento della prima parte della dimostrazione
Grazie per la bontà di collaborazione
cordiali saluti.