da pilloeffe » 17/11/2017, 17:54
Facciamo riferimento al caso $z^6 = 1 $, poi estendere al caso di $n \ne 6 $ è abbastanza immediato.
Usando la rappresentazione polare $z = \rho e^{i\theta} $, si ha:
$\rho^6 e^{i 6\theta} = 1 = 1 e^{i (0 + 2k\pi)} $
Perciò si ha:
$rho^6 = 1 \implies rho = 1 $ (deve essere $\rho \ge 0 $)
$6 \theta = 0 + 2 k \pi \implies \theta = k \pi/3 $
ove $k = 0, 1, 2, 3, 4 $ e $5 $ (poi le soluzioni si ripetono).
Quindi le $6$ soluzioni nelle tre forme esponenziale, trigonometrica ed algebrica sono le seguenti:
$z_0 = 1 e^{i 0} = cos(0) + i sin(0) = 1 + i0 = 1$
$z_1 = 1 e^{i frac{\pi}{3}} = cos(frac{\pi}{3}) + i sin(frac{\pi}{3}) = 1/2 + i frac{sqrt{3}}{2} $
$z_2 = 1 e^{i frac{2\pi}{3}} = cos(frac{2\pi}{3}) + i sin(frac{2\pi}{3}) = - 1/2 + i frac{sqrt{3}}{2} $
$z_3 = 1 e^{i \pi} = cos(\pi) + i sin(\pi) = - 1 + i0 = - 1 $
$z_4 = 1 e^{i frac{4\pi}{3}} = cos(frac{4\pi}{3}) + i sin(frac{4\pi}{3}) = - 1/2 - i frac{sqrt{3}}{2} $
$z_5 = 1 e^{i frac{5\pi}{3}} = cos(frac{5\pi}{3}) + i sin(frac{5\pi}{3}) = 1/2 - i frac{sqrt{3}}{2} $