Salve a tutti. Vorrei chiedere come si può dimostrare che l'integrale improprio:
$\int_{a}^{b}\frac{1}{\sqrt{(b-x)(x-a)}}dx=\pi $ con $0\leqa<b$
E' un risultato dato sul mio libro, ma non riesco a dimostrarlo. Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille.
pilloeffe ha scritto:Ciao IndividuoX,
Un'idea ce l'avrei, ma non è proprio elementare...Testo nascosto, fai click qui per vederlo$\int_a^b [(x - a)(b - x)]^{n/2} dx = i\pi Res {[(x - a)(b - x)]^{n/2}}_{z = \infty} \qquad n = - 1, 1, 3, 5, ... $
Dopo un po' di conti si trova
$Res {[(x - a)(b - x)]^{n/2}}_{z = \infty} = - e^{-i n \pi/2 } sum_{k + l = n + 1}( (n/2) , (k) )( (n/2) , (l) )a^k b^l $
Per cui si ha:
$\int_a^b [(x - a)(b - x)]^{n/2} dx = - i\pi e^{-i n \pi/2 } \sum_{k + l = n + 1} ( (n/2) , (k) )( (n/2) , (l) )a^k b^l $
Per $n = - 1 $ la sommatoria si riduce ad un unico termine, quello con $k = l = 0 $ e dunque vale $1$; da ciò segue subito
$ \int_a^b frac{dx}{sqrt{(x - a)(b - x)}} = \pi $
come volevasi dimostrare.
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