Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda francox » 06/12/2017, 23:55

Il prodotto vettoriale è x definizione non commutativo, quindi antisimmetrico.
Il complesso coniugato cambia il segno della parte immaginaria *

Mi domandavo se qualcosa del genere si potesse fare anche per il prodotto vettoriale.

Note e Riflessioni:

- non vedo analogie tra le due operazioni: la prima è binaria, la seconda è unaria
- in un anello un' operazione binaria non commutativa non necessariamente è antisimmetrica (quel 'quindi' è falso)

Avevo preso in considerazione la moltiplicazione tra matrici, ma non ho idea se è di questo che ho davvero bisogno per rendere commutativo il prodotto vettoriale, oppure se serve una struttura costruita ad hoc.

Non sapendo bene come procedere (non ho trovato fonti in merito) chiedo gentilmente se mi potete fare degli esempi in tal senso.
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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda killing_buddha » 07/12/2017, 00:38

francox ha scritto:Il prodotto vettoriale è x definizione non commutativo, quindi antisimmetrico.

Eh no, non è che se $AB\neq BA$ allora $AB=-BA$.

non vedo analogie tra le due operazioni: la prima è binaria, la seconda è unaria

Il prodotto vettoriale in $K^3$ (fissata una base ortonormale) è una operazione binaria; il prodotto vettoriale in $K^n$ (idem, fissata una base ortonormale) è una operazione $n-1$-aria.

C'è una relazione tra prodotto di matrici e prodotto vettoriale: per ogni vettore di \(\omega \in \mathbb{R}^3\) (facciamolo sui reali, ma altrove cambia poco) esiste un'unica matrice $3\times 3$ tale per cui
\[
\omega\times v = A_\omega v
\] Trova le entrate di $A_\omega$ :)
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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda francox » 10/12/2017, 04:39

Questa soluzione dovrebbe rendere il prodotto vettoriale commutativo:

Sia w = (w1 w2 w3) e v = (v1 v2 v3)
w x v = | i j k; w1 w2 w3; v1 v2 v3 | = ( w2v3 - w3v2, w3v1 - w1v3, w1v2 -w2v1 )
che si può riscrivere come [ 0 -w3 w2; w3 0 -w1; -w2 w1 0 ] * [ v1 v2 v3 ]'
da cui segue A_w = [ 0 -w3 w2; w3 0 -w1; -w2 w1 0 ]


Mi viene adesso un enorme dubbio: trasformare il prodotto vettoriale da non commutativo a commutativo trova applicazioni particolari in matematica o in fisica oppure non serve proprio a niente ? :?
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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda killing_buddha » 10/12/2017, 11:19

Non è commutativo, hai riscritto la definizione.
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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda francox » 10/12/2017, 14:15

Perdonami, non capisco: ma allora se il prodotto tra matrici non mi permette di rendere commutativo il prodotto vettoriale, xke mi hai detto di trovare le entrate ?

Lo so che non é commutativo per definizione, ma a me interessa renderlo commutativo come funzione: far in modo che il prodotto tra matrici (metodo) faccia comportare il prodotto vettoriale non commutativo come se fosse commutativo, non cambiare la definizione di partenza.

So che la matrice identità é per sua definizione anche la sua inversa, avevo pensato per quello e la matrice identità induce la funzione identità.
Ti prego di aiutarmi a capire perchè non é mia intenzione cambiare le definizioni, ma usarle in modo da indurre un inferenza.
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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda killing_buddha » 10/12/2017, 14:24

Non una singola cosa in quel che hai detto ha il benché minimo senso.

Il prodotto vettoriale non è commutativo; non vi è modo di renderlo commutativo, né "come funzione" né come altro (cosa sarebbe poi questo altro?); il prodotto vettoriale per un vettore fissato è una applicazione lineare di cui ti ho chiesto di trovare la matrice, trovando cioè un isomorfismo (dimostra che è tale!) tra $RR^3$ e lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari alternanti \(\{A\in M_3(\mathbb R)\mid A^t+A=0\}\)
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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda francox » 11/12/2017, 20:21

Ok, ma.. non sono soddisfatto della tua risposta, anche se la trovo giusta e corretta.

L'assioma di univalenza di Voevodsky, nell'ambito appunto della fondazione univalente, esprime il concetto che "l'identità è equivalente all'equivalenza"

Una volta che dimostro che è un isomorfismo il prodotto vettoriale non si 'comporta' comunque da commutatore (questo voglio), non capisco bene perchè mi chiedi di trovare un isomorfismo, aiutami a capire perchè mi sembra che tu mi stia cercando di mostrare il tipo di relazione algebrica tra le matrici e i vettori secondo un metodo che poi mi porterà a rappresentare un modello di isomorfismo che però non coincide con il mio obbiettivo: cambiare il modo di rappresentare questo modello, non il modello come definizione.

Per commutatore, in matematica, si intende una composizione di due elementi di una struttura algebrica, riferita ad una operazione binaria che fornisce un terzo elemento diverso dall'elemento neutro, quando i due elementi dati non soddisfano la proprietà commutativa.


Secondo me qualche idea per pensarlo commutativo potrebbe esserci

L'operazione viene detta nullaria o zeraria o zero-aria perchè individua o sceglie un particolare elemento del supporto detto costante. In un monoide M oltre ad una operazione binaria vi è una operazione nullaria che corrisponde all'elemento identità del monoide cosicchè r(M) = (2,0)
Una operazione n-aria su A è una funzione che accetta n elementi di A e restituisce un singolo elemento di A.
Così, una operazione 0-aria (o operazione nullaria) è semplicemente un elemento di A, o una costante, spesso indicata con una lettera come a


Un collegamento con i numeri naturali

(N, +) è un monoide commutativo con l'elemento neutro 0, il cosiddetto monoide libero con un generatore.


elemento neutro se non mi sbaglio è già però un' operazione unaria, il fatto che l'elemento neutro sia la base per definire il loop e il concetto di gruppo, io vorrei capire allora, dato il collegamento tra commutatore, elemento neutro e la commutatività del prodotto vettoriale.

Il modulo nel prodotto vettoriale non cambia, quindi il problema non è se il prodotto vettoriale resta non-commutativo, evidentemente la costante (mi serve un operazione nullaria dunque) per renderlo commutativo non è attraverso il prodotto delle matrici e ne attraverso l'isomorfismo che tu mi stai chiedendo di dimostrare. Secondo me bisogna cambiare semplicemente il modo di rappresentare la stessa costante che poi porta a me dire che è possibile e a te a ripetere che non si può fare: eh no, un punto di incontro tra commutativa e non commutativa deve esistere, altrimenti non potremmo nemmeno definire il concetto di costante o operazione nullaria.

Elemento identità: e * x = x = x * e.
Elemento inverso: x * (~x) = e = (~x) * x.


Perchè usano la costante (operazione nullaria e) per definire l'identità e l'inverso ?

Per me la chiave per capire tutto è proprio in quelle 2 definizioni, in particolare

x * (~x) = e = (~x) * x


permette di mostrare come il problema non è una questione di 'segni', ma è solo un modo di rappresentare la stessa costante di sempre: il semplice elemento dell'insieme o l'operazione nullaria.

Bisogna cambiare la rappresentazione, questo non vuol dire cambiare le definizioni: io ti sto dicendo una cosa, ma tu capisci qualcos' altro, ecco il problema, cerco un punto di incontro tra le definizioni, non un punto di separazione, non è quello che mi interessa.
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Re: Esempi per rendere commutativo il prodotto vettoriale attraverso la moltiplicazione tra matrici o una struttura ad hoc ?

Messaggioda Martino » 11/12/2017, 21:19

Ma cosa intendi con "rendere" l'operazione commutativa? Puoi fare un esempio in cui rendi un'operazione commutativa?
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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