Esercizio sugli ordini di infinito

Messaggioda Leoddio » 07/12/2017, 00:48

Il seguente limite io lo ho sviluppato così

$lim_(x -> +∞) (logx)^x/x^logx = lim_(x->+∞) [e^(xlog(logx))]/e^[(logx)^2]$

a questo punto si tratta di confrontare i due infiniti e siccome $xlog(logx)>=x$ e $x>>(logx)^2$ allora $xlog(logx)>>(logx)^2$, a questo punto siccome ho dimostrato che l'esponente di $e$ a numeratore è maggiore di quello a denominatore e siccome le basi sono uguali non dovrei concludere che il numeratore sia di un ordine di infinito maggiore rispetto al denominatore e che quindi il limite risulti più infinito?

Il libro invece scrive "$xlog(logx)>>(logx)^2$ quindi $e^[(logx)^2] >> e^[xlog(logx)]$ e il limite cercato è 0" e io non riesco proprio a capire perché...
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Re: Esercizio sugli ordini di infinito

Messaggioda kobeilprofeta » 07/12/2017, 09:51

Pensa se è più grande $2^10$ o $10^2$
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Re: Esercizio sugli ordini di infinito

Messaggioda francicko » 07/12/2017, 10:56

La forma in cui lo hai posto è corretta, si tratta di confrontare gli esponenti come giustamente hai fatto, trascurando la quantità $log (logx) $ che tende ad $infty $ meno velocemente di $logx $, il limite è equivalente ad $lim_(x->+infty)e^x/e^(log^2 (x)) $,
essendo che $x $ va ad infinito più velocemente di ogni potenza di $logx $, nel nostro caso di $log^2 (x)$ , il limite diverge evidentemente a $+infty $, non capisco proprio come possa dare $0$ :-D
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Re: Esercizio sugli ordini di infinito

Messaggioda Leoddio » 07/12/2017, 21:07

Immagine
il libro la soluzione la fa così, pensi che sia sbagliato?
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Re: Esercizio sugli ordini di infinito

Messaggioda francicko » 08/12/2017, 00:47

Non so cosa dire, a me sembra si contraddica in modo evidente, $xloglogx>(logx)^2$ quindi $e^((logx)^2)>e^(xloglogx) $, poi magari qualcuno può smentirmi, attendiamo pareri di persone più esperte di me.
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Re: Esercizio sugli ordini di infinito

Messaggioda CaMpIoN » 08/12/2017, 01:45

Ho provato a tracciare la funzione $y=\frac{(\log x)^x}{x^{\log x}}$ ed anche lì si vede chiaramente che la funzione tende a $+\infty$ per $x \to +\infty$.
Chiunque smetta di imparare è vecchio, che abbia 20 o 80 anni. Chiunque continua ad imparare resta giovane. La più grande cosa nella vita è mantenere la propria mente giovane. (Henry Ford)
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