Base ortonormale di autovettori.

Messaggioda BRN » 04/12/2017, 12:15

Ciao ragazzi, qualcuno mi aiuta con questo esercizio?

Sia $(V,<,>)$ uno spazio vettoriale euclideo reale e sia $B={b_1, b_2, b_3}$ una base ortonormale. Si consideri poi il sottospazio $S$ di $V$ generato dal vettore $b_1-b_2$.

1) Determinare una base ortonormale di $S^_|_ $

2) Sia $F:V rarr V$ un endomorfismo simmetrico tale che sia $ Ker (F)=S$ e $F^2=2F$. Determinare una base ortonormale di $V$ costituita da autovettori di $F$.

Per il punto 1 si dovrebbe risolvere in questo modo:

Per riduzione si ha rispetto alla base $B$

$ v=b_1-b_2 rArr [V]_B=(1 \ \ -1 \ \ 0) rArr dimS=1 rArr B_S={( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )} $

Tramite G-S cerco una base ortonormale di $S^_|_ $ rispetto al prodotto scalare standard:

$ u=1/sqrt (<( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ) | ( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )>)( ( 1 ),( -1 ),( 0 ) )= $

$ u=( ( 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) ),( 0 ) ) rArr B_(S^_|_)={( ( 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) ),( 0 ) )} $

Per il punto 2 come si deve procedere???

Grazie a chi mi aiuta!
BRN
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Re: Base ortonormale di autovettori.

Messaggioda BRN » 05/12/2017, 14:50

Proprio nessuno??? :cry:
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Messaggioda Sergeant Elias » 05/12/2017, 20:51

Gli autovalori dell'endomorfismo simmetrico soddisfano la seguente equazione:

$[\lambda^2-2\lambda=0] rarr [\lambda=0] vv [\lambda=2]$

Quindi, il sottospazio di dimensione $1$ generato da $[b_1-b_2]$ è l'autospazio associato all'autovalore $[\lambda=0]$, mentre il suo complemento ortogonale è l'autospazio di dimensione $2$ associato all'autovalore $[\lambda=2]$.
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Re: Base ortonormale di autovettori.

Messaggioda dissonance » 07/12/2017, 13:32

Il punto 1 è sicuramente sbagliato. Il complemento ortogonale di S deve avere dimensione 2.
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Re: Base ortonormale di autovettori.

Messaggioda BRN » 07/12/2017, 23:10

Boh... questo esercizio mi lascia senza idee...

Sergeant Elias ha scritto:Gli autovalori dell'endomorfismo simmetrico soddisfano la seguente equazione:

$ [\lambda^2-2\lambda=0] rarr [\lambda=0] vv [\lambda=2] $



Giungi a questa conclusione partendo dal fatto che $ F^2=2F$ giusto?

Sergeant Elias ha scritto:Quindi, il sottospazio di dimensione $ 1 $ generato da $ [b_1-b_2] $ è l'autospazio associato all'autovalore $ [\lambda=0] $, mentre il suo complemento ortogonale è l'autospazio di dimensione $ 2 $ associato all'autovalore $ [\lambda=2] $.


Autovettori relativi ad autovalori differenti sono ortogonali tra loro. Ma non potrebbe valere anche il contrario, cioè autospazio associato a $lambda=2$ e complemento associato a $lambda=0$?

Quindi dovrei trovare gli autovettori relativi a $lambda=2$, ma come posso trovare prima la matrice associata a $F$?

dissonance ha scritto:Il punto 1 è sicuramente sbagliato. Il complemento ortogonale di S deve avere dimensione 2.


Perchè dovrebbe avere dimensione 2?
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Messaggioda Sergeant Elias » 08/12/2017, 11:34

BRN ha scritto:Giungi a questa conclusione partendo dal fatto che $F^2=2F$ giusto?

Giusto.

BRN ha scritto:Autovettori relativi ad autovalori differenti sono ortogonali tra loro. Ma non potrebbe valere anche il contrario, cioè autospazio associato a $lambda=2$ e complemento associato a $lambda=0$?

Poiché il testo dice che il sottospazio di dimensione $1$ generato da $[b_1-b_2]$ è il nucleo dell'endomorfismo simmetrico, esso deve essere l'autospazio associato all'autovalore $[\lambda=0]$. Ne consegue che il suo complemento ortogonale deve essere l'autospazio di dimensione $2$ associato all'autovalore $[\lambda=2]$.

BRN ha scritto:... ma come posso trovare prima la matrice associata a $F$?

Dopo aver determinato una base ortonormale, la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla stessa è diagonale. Se, viceversa, si vuole determinare la matrice che rappresenta l'endomorfismo rispetto alla base naturale, è necessario un cambiamento di base. Tuttavia, non mi sembra che il testo chieda esplicitamente né l'una, né l'altra. Infatti, la determinazione delle due matrici non è assolutamente necessaria per risolvere il problema. Anzi, solo dopo aver seguito il procedimento di cui sopra è possibile determinare le due matrici che rappresentano l'endomorfismo rispetto a una base spettrale e alla base naturale.
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Re:

Messaggioda BRN » 12/12/2017, 12:15

Scusa il ritardo nella risposta, ma in questi giorni ho avuto l'influenza...

Sergeant Elias ha scritto: Infatti, la determinazione delle due matrici non è assolutamente necessaria per risolvere il problema.

Rimango un po' spiazzato. L'unico modo che conosco per determinare degli autovettori è quello di studiare il sistema ponendo $(A-lambda I)=0$ con $A$ matrice associata all'endomorfismo e $lambda$ autovalore relativo all'autovettore cercato.
Praticamente mi stai dicendo che esiste una via alternativa per fare tutto ciò senza passare per $A$? E in che modo? :shock:
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Messaggioda Sergeant Elias » 13/12/2017, 17:02

BRN ha scritto:L'unico modo che conosco per determinare degli autovettori è quello di studiare il sistema ponendo $(A-lambda I)=0$ con $A$ matrice associata all'endomorfismo e $lambda$ autovalore relativo all'autovettore cercato.

Ma devi conoscere $A$, cioè, come agisce l'endomorfismo su un generico vettore.

BRN ha scritto:Praticamente mi stai dicendo che esiste una via alternativa per fare tutto ciò senza passare per $A$? E in che modo?

Dopo aver determinato gli autovalori e gli autovettori utilizzando le informazioni del testo, si riesce a determinare anche $A$, cioè, come agisce l'endomorfismo su un generico vettore.
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Re: Base ortonormale di autovettori.

Messaggioda BRN » 16/12/2017, 13:07

Per il momento correggo il primo punto.
cerco un vettore $ vin S^(_|_) $ ortogonale a $S$ rispetto al prodotto scalare canonico

$ ( 1 \ \ - 1 \ \ 0 ) ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 0), (0), ( 0)) $

$ rArr { ( x-y=0 ),( y=a ),( z=b ):} rArr { ( x=a ),( y=a ),( z=b ):} $

$ rArr ((x), (y), (z)) = a ((1), (1), (0)) + b ((0), (0), (1)) $

Quindi

$ B_(S^(_|_) ) = {((1), (1), (0));((0), (0), (1))} $

Sergeant Elias ha scritto:Dopo aver determinato gli autovalori e gli autovettori utilizzando le informazioni del testo, si riesce a determinare anche $ A $, cioè, come agisce l'endomorfismo su un generico vettore.


Ma se mi dici che non serve $A$ per risolvere il secondo punto, allora non la cerco nemmeno. Mi serve capire come risalire agli autovettori partendo dai dati del testo e senza passare dalla matrice rappresentativa.
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Messaggioda Sergeant Elias » 28/12/2017, 08:40

BRN ha scritto:Mi serve capire come risalire agli autovettori partendo dai dati del testo e senza passare dalla matrice rappresentativa

L'avevo scritto sinteticamente in un messaggio precedente:

Sergeant Elias ha scritto:Poiché il testo dice che il sottospazio di dimensione $1$ generato da $[b_1-b_2]$ è il nucleo dell'endomorfismo simmetrico, esso deve essere l'autospazio associato all'autovalore $[\lambda=0]$. Ne consegue che il suo complemento ortogonale deve essere l'autospazio di dimensione $2$ associato all'autovalore $[\lambda=2]$.

Se non è sufficiente, dovresti chiarire meglio i tuoi dubbi.
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