Bremen000 ha scritto:Magari sto per dire una poderosa scemenza ma ho pensato questo:Testo nascosto, fai click qui per vederloPoiché la funzione è Lipschitziana essa è continua e dunque, essendo $[0,1]$ compatto, essa assume massimo $M$ e minimo $m$ su tale intervallo.
Sempre perché $f$ è Lipschitziana non può essere che esista un $b : |b|>L$.
Dunque $b$, variando in $ZZ$ può assumere al più $2\lfloor L \rfloor+1 =:N$ valori.
D'altra parte $a$ non può assumere un valore maggiore di $(|M| \vee |m|)+N$ per la limitatezza di $f$.
Dunque esiste un numero finito di coppie distinte $(a,b) \in ZZ^2$ che soddisfano le ipotesi del teorema, chiamo $A$ il sottoinsieme di $ZZ^2$ che ha per elementi tali coppie.
Sia ora $q$ un razionale fissato qualsiasi.
$B_{1/(n+2)}(q) \cap [0,1] \cap QQ \ne \emptyset \quad \forall n \in NN $
Dunque è possibile costruire una successione
$\{q_n}_{n \in NN} $ t.c. $q_n \in [0,1] \cap QQ \forall n \in NN$ e $q_n \underset{n}{\to} q$
A ogni $q_n$ è associata una coppia $c_n \in A$.Ovvero a $\{q_n\}_{n\ in NN}$ è associata la successione $\{c_n\}_{n \in NN} \subset A$. D'altra parte $A$ è finito e dunque esiste una (mi sa che deve essere unica per l'unicità del limite che salta fuori dopo dove metto l'asterisco) coppia $c =(a,b)$ che si ripete infinite volte e dunque definitivamente; a tale coppia sarà associata la sottosuccessione $\{q_{n_k} \}_{k \in NN} \subset \{q_n}_{n \in NN}$ per la quale valgono i seguenti due fatti:
1. $q_{n_k} \underset{k}{\to} q$
2. $f(q_{n_k}) = a+bq_{n_k} \quad \forall k \in NN$
Da cui ricaviamo, per continuità di $f$ che anche $f(q) = a+bq \quad (\ast)$
Credo che da qua si possa ricavare che c'è un intorno aperto $D$ di $q$ tale per cui $f(x) = a+bx$ per ogni $x \in D \cap QQ$ e per continuità di $f$ deve valere anche per gli irrazionali. Con l'idea di wanderer si conclude.
Come fai a dire che sul singolo punto razionale il numero di coppie $(a,b)$ valide sia finito? A me risulta che, presa una coppia $(a,b)$ che soddisfa l'equazione lineare per un punto razionale, se ne possano ricavare infinite altrettanto valide.
Infatti anche io pensavo inizialmente di dimostrare che il numero di coppie valide fosse finito, però in un intorno di un punto razionale dove puoi effettivamente applicare la Lipschizianità della funzione...