Esercizio sulle funzioni continue

[galles90]

Buonasera,
Sia \(\displaystyle f(x)=\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{x_0} \) verificare se \(\displaystyle f \) è continua per ogni \(\displaystyle x_0\ne 0 \).

Vi riporto la mia soluzione, se ci passaggi non corretti me li segnalate.

Sia \(\displaystyle f(x)=\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{x_0}= \tfrac{x_0-x}{xx_0} \)
per avere una quantità più facile da lavorarci maggioriamo la quantità \(\displaystyle f(x)-f(x_0) \).Si possono presentare dua casi
1 \(\displaystyle x_0>0 \)
2 \(\displaystyle x_0<0 \)
Io considero il secondo caso, visto che lo svolgimento del primo si trova nell'appunto che ho pubblicato in precedenza.

Sia \(\displaystyle x_0<0 \) visto che \(\displaystyle f \) è definita in tutto \(\displaystyle \mathbb{R}-0 \) occorre scegliere un intorno di \(\displaystyle x \) in cui non appartiene \(\displaystyle 0 \), allora sia \(\displaystyle I=]-\tfrac{3}{2}x_0,-\tfrac{x_0}{2}[ \).
Per ogni \(\displaystyle x\in I \) si ha
\(\displaystyle xx_0>-\tfrac{3}{2}x_0-x_0=\tfrac{3}{2}x_0^2\)
quindi
\(\displaystyle |f(x)-f(x_0)|=\tfrac{|x_0-x|}{xx_0}<\tfrac{2|x_0-x|}{3}x_0^2 \), quindi abbiamo ottenuto la maggiorazione.

Ora per def. di limite si ha
\(\displaystyle \forall \epsilon \)\(\displaystyle \exists \delta>0: |x-x_0|<\delta \to |f(x)-f(x_0)|<\epsilon \), prendendo in considerazione la disuguaglianza di prima otteniamo:

\(\displaystyle\tfrac{2|x_0-x|}{3}x_0^2<\epsilon \) , svolgendo i calcoli si ha
\(\displaystyle |x_0-x|<\tfrac{3}{2}x_0^2\epsilon \)

quindi il delta deve essere il minimo tra \(\displaystyle -\tfrac{3}{2}x_0, \tfrac{3}{2}x_0^2\epsilon \).

[Bremen000]

Ciao galles,
ho letto solo l'inizio e c'è qualcosa che non mi torna; sei sicuro che l'espressione analitica della tua funzione sia $f(x) = 1/x -1/x_0$ ?

Penso tu volessi scrivere $f(x) = 1/x$..

[galles90]

Ciao Bremen000,
si è cosi, penso che sia un errore di battitura. E' il secondo esercizio dell'allegato.

[CaMpIoN]

No, nessun errore, l'esercizio richiede di dimostrare che la funzione è continua in $x_0$ per ogni $x_0\ne 0$, cioè devi verificare che
\(\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \)
cioè
\(\displaystyle \lim_{x\to x_0}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right)=\lim_{x\to x_0} \frac{1}{x}-\lim_{x\to x_0} \frac{1}{x_0}=\frac{1}{x_0}-\frac{1}{x_0}=0 \)
Inoltre con le stesse operazioni algebriche vedi che
\(\displaystyle f(x_0)=0 \)
Quindi la funzione è continua in ogni $x_0\ne 0$.

[galles90]

Grazie,
i miei dubbi erano sull'impostazione che avevo adottato\adattato, se sono corrette perfetto
Ciao

[Bremen000]

@CaMpioN

No, nessun errore, l'esercizio richiede di dimostrare che la funzione è continua in $x_0$ per ogni $x_0\ne 0$,

L'OP aveva scritto "verificare che è continua" e quindi non si capiva perché andasse a verificare la continuità nel solo punto $x_0$.

Inoltre appoggiarsi sulla continuità di $1/x$ per dimostrare la continuità in $x_0$ della nostra $f$ mi sembra un po' come barare, qui si deve usare la definizione $\epsilon-\delta$.

@galles90
Stai attento a riportare bene le consegne, passaggi che ti possono sembrare inessenziali magari sono fondamentali per capire cosa stai chiedendo!

Per quanto riguarda la tua soluzione, io non c'ho capito moltissimo.
A un certo punto consideri $x \in I = (-3/2 x_0, -x_0/2)$ ma $x_0<0$ quindi quell'intervallo è al contrario!

Perché non procedi nella maniera canonica?
Devi verificare che per ogni $x, x_0 \ne 0$ vale

$\forall \epsilon >0 \quad \exists \delta = \delta(\epsilon)>0 : 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |1/x-1/(x_0)|< \epsilon$

Devi dunque risolvere il sistema

\begin{cases}
\frac{ x_0-x-x x_0 \epsilon}{x x_0} <0 \\
\frac{x_0-x+x x_0 \epsilon}{x x_0} >0 \\
\end{cases}

Che non sarò bellissimo ma è pur sempre un sistema che si fa senza problemi.

[CaMpIoN]

Inoltre appoggiarsi sulla continuità di $1/x$ per dimostrare la continuità in $x_0$ della nostra $f$ mi sembra un po' come barare, qui si deve usare la definizione $\epsilon-\delta$.

Ho preferito usare il calcolo dei limiti perché la definizione $\epsilon-\delta$ mi sembrava abbastanza complessa e lunga da svolgere.

[galles90]

Ciao bremen000

@CaMpioN

Inoltre appoggiarsi sulla continuità di $ 1/x $ per dimostrare la continuità in $ x_0 $ della nostra $ f $ mi sembra un po' come barare, qui si deve usare la definizione $ \epsilon-\delta $.

cosa intendi con questo ?

A un certo punto consideri $ x \in I = (-3/2 x_0, -x_0/2) $ ma $ x_0<0 $ quindi quell'intervallo è al contrario!

Yes

Comunque risolvo il sistema e vediamo cosa esce fuori

Grazie
Inoltre appoggiarsi sulla continuità di $ 1/x $ per dimostrare la continuità in $ x_0 $ della nostra $ f $ mi sembra un po' come barare, qui si deve usare la definizione $ \epsilon-\delta $.

Ho preferito usare il calcolo dei limiti perché la definizione $ \epsilon-\delta $ mi sembrava abbastanza complessa e lunga da svolgere.

[Bremen000]

Intendo dire che lo spirito dell'esercizio non è evidentemente quello di usare la continuità di $1/x$ perché se no si riduce a due parole: $g(x)= 1/x$ è continua in $x_0 \ne 0$ e $h(x) = 1/x_0$ con $x_0 \ne 0$ è continua in $x_0$ perché è costante. Somma di funzioni continue è continua. Fine.

Invece credo proprio che lo scopo sia quello di familiarizzare con la definizione di limite, appunto quella con $\epsilon-\delta$.

[galles90]

Bremen000 buonasera

come hai detto tu bisogna risolvere il seguente sistema

\[ \begin{cases} \frac{ x_0-x-x x_0 \epsilon}{x x_0} <0 \\ \frac{x_0-x+x x_0 \epsilon}{x x_0} >0 \\ \end{cases} \]

cioè bisogna applicare la def. di limite, quindi
risolvendo la prima
\(\displaystyle \tfrac{x_0-x-\epsilon xx_0}{xx_0}<0 \to \tfrac{x_0-x(1 +\epsilon x_0)}{xx_0} \to \tfrac{x_0}{xx_0}-\tfrac{x(1 +\epsilon x_0)}{xx_0} \to\tfrac{1}{x}-\tfrac{(1 +\epsilon x_0)}{x_0} \to \tfrac{1}{x}<\tfrac{(1 +\epsilon x_0)}{x_0} \)
in modo simile si avrà per la seconda disequazione. Quindi adesso che cosa dovrei dire? " se ho risolto correttamente il sistema" .
Dovrei dire che il \(\displaystyle \delta \) che verifica la condizione di continuità deve essere \(\displaystyle \delta=\tfrac{1+x_0}{x_0}\)

Ciao