Dimostrazione molto strana

[Silent]

Non riesco a trovare il baco in questi pochi passaggi:

\(\displaystyle F(x)-F(0)=\int_{0}^{x}f(\xi)\text{d}\xi \)

\(\displaystyle F(x+L)-F(0)=\int_{0}^{x+L}f(\xi)\text{d}\xi=\int_{0}^{x}f(\xi)\text{d}\xi+\int_{x}^{x+L}f(\xi)\text{d}\xi= \)
\(\displaystyle =F(x)-F(0)+\int_{0}^{L}f(\xi-x)\text{d}\xi=F(x)-F(0)+F(L)-F(0) \)

Combinando la prima e l'ultima uguaglianza:

\(\displaystyle F(x+L)=F(x)+F(L)-F(0) \).

Che dovrebbe essere palesemente falsa, basta considerare \(\displaystyle F(x)=x^2 \)

Chiedo scusa se la domanda è stupida ma davvero non riesco a vedere dove sia l'errore.
Grazie in anticipo.

[singularity]

Penso che in generale sia:

$\int_{x}^{x+L}f(\xi)\text{d}\xi != \int_{0}^{L}f(\xi-x)\text{d}\xi $

quindi, probabilmente, l'errore è lì.

[dissonance]

Penso che in generale sia:

$\int_{x}^{x+L}f(\xi)\text{d}\xi != \int_{0}^{L}f(\xi-x)\text{d}\xi $

quindi, probabilmente, l'errore è lì.

Sono d'accordo. La formula corretta è
\[
\int_x^{x+L} f(\xi)\, d\xi= \int_0^L f(\xi+x)\, d\xi.\]

[Silent]

Si avete ragione ho sbagliato un segno, ma il problema concettuale credo sia al passaggio dopo, ad ogni modo grazie della correzione.
Penso ci sia qualcosa che proprio non vada quando viene praticamente detto che la primitiva di \(\displaystyle f(\xi) \) coincide con quella \(\displaystyle f(\xi+x) \).

Il motivo per cui ho aperto questa discussione è perché dalle dispense su cui sto studiando ho letto questo (riporto i passaggi identicamente):

\(\displaystyle \psi(s+L)=\int_{0}^{s+L}\frac{\text{d}s'}{\beta (s')} =\int_{0}^{s}\frac{\text{d}s'}{\beta (s')}+\int_{s}^{s+L}\frac{\text{d}s'}{\beta (s')}=\psi(s)+\int_{0}^{L}\frac{\text{d}s''}{\beta (s'')}=\psi(s)+\psi(L) \)

Dove \(\displaystyle \psi(s) \) è per definizione la primitiva di \(\displaystyle \frac{1}{\beta (s)} \) (dove \(\displaystyle \beta \) è una funzione incognita della variabile \(\displaystyle s \)) ed inoltre \(\displaystyle s''=s'-s \).
Io direi che innanzitutto nella prima uguaglianza si assume implicitamente che \(\displaystyle \psi(0)=0 \). Poi secondo me c'è un problema in questa uguaglianza, presente nella catena di sopra:

\(\displaystyle \int_{s}^{s+L}\frac{\text{d}s'}{\beta (s')}=\int_{0}^{L}\frac{\text{d}s''}{\beta (s'')} =\psi(L)\)

che io invece scriverei così:

\(\displaystyle \int_{s}^{s+L}\frac{\text{d}s'}{\beta (s')}=\int_{0}^{L}\frac{\text{d}s''}{\beta (s''+s)} \)

dove in particolare non mi sembra affatto corretto concludere che la primitiva tra cui calcolare gli estremi sia ancora \(\displaystyle \psi \).

Sbaglio io?

[CaMpIoN]

Dovrebbe essere $s''=s'+s$. Lui scrive
\(\displaystyle \int^{s+L}_s \frac{ds'}{\beta (s')}=\int^L_0 \frac{ds'}{\beta (s'+s)} \)
Poi sostituisci $s'+s=s''$ da cui $ds'=ds''$ e ottieni
\(\displaystyle \int^L_0 \frac{ds'}{\beta(s'+s)}=\int^L_0 \frac{ds''}{\beta(s'')}\)

[Silent]

Dovrebbe essere $s''=s'+s$.

No questo sicuro no, altrimenti quando s' va da s a s+L, s'' va da 2s a 2s+L. Sei d'accordo?

Grazie della gentilezza comuqnue.

[CaMpIoN]

In effetti l'ultimo caso dovrebbe essere solo una sostituzione senza passare al valore degli estremi.

[Plepp]

A parte il segno, l'errore sta nell'ultima uguaglianza:

\(\displaystyle F(x+L)-F(0)=\int_{0}^{x+L}f(\xi)\text{d}\xi=\int_{0}^{x}f(\xi)\text{d}\xi+\int_{x}^{x+L}f(\xi)\text{d}\xi= \)
\(\displaystyle =F(x)-F(0)+\int_{0}^{L}f(\xi-x)\text{d}\xi=F(x)-F(0)+F(L)-F(0) \)

$\int_{0}^{L}f(\xi-x)\text{d}\xi\ne F(L)-F(0) = \int_{0}^{L} f(\xi)"d"\xi$

[Silent]

Perfetto, grazie della conferma Plepp!

Grazie a tutti per le risposte.