Io risolverei con le formule parametriche: ponendo $t=tan(x/2)$ hai $ sin(x)=2t/{1+t^2} $ e $cos(x)={1-t^2}/{1+t^2}$ a questo punto:
${2t}/{1+t^2} - (sqrt(2)-1) * {1-t^2}/{1+t^2} + 1- sqrt(2)=0 => ...$ ottieni $2t+2(1-sqrt(2))=0 => t=tan(x/2)=sqrt(2)-1$ ti trovi l'angolo relativo con il suggerimento che ti ha dato @melia e ricorda della periodicità della tangente
Io, invece, con il metodo dell'angolo aggiunto, visto che $sqrt2-1=tan (pi/8)$ l'esercizio $sinx - (sqrt2-1)cosx+1 -sqrt2=0$ diventerebbe $sinx - tan (pi/8)cosx = tan (pi/8)$, moltiplicando tutto per $cos(pi/8)$ si ottiene
$sinx cos(pi/8) -sin(pi/8)cosx = sin (pi/8)$ da cui
Questa è un'equazione lineare, i metodi risolutivi possibili sono tre, manca quello con il sistema che si ottiene mettendo a sistema l'equazione con la circonferenza goniometrica e risolvendo il sistema nelle incognite $sin x $ e $cos x$.
Nella sua soluzione mic999 ha dimenticato le condizioni di esistenza delle equazioni parametriche, per questo motivo ha perso una soluzione.