Ho l'impressione che tu abbia qualcosa in mente, ma che tu stia usando i termini totalmente sbagliati per definirli
Credo a causa di certi collegamenti che faccio poi mi porta a confondermi.
non penso che tu abbia davvero idea di come siano definiti in realtà
mm..adesso si che il discorso si fa ricco e interessante, si, credo che tu abbia centrato il problema.
Potrei dare un'occhiata alla tua tesi ? Mi sembra un lavoro di particolare interesse il tuo e compatibile con alcune ricerche che sto facendo: come mai hai scelto proprio questo argomento ?
Ho visto che si collega al funzionale di Helfrich e dato che ha anche applicazioni importanti (direi fondamentali) in biologia volevo chiederti se la modellazione matematica delle membrane si possa applicare non solo su quelle lipidiche, ma anche ad un'altra membrana: l'
assolemma (membrana plasmatica che avvolge l'assone di una cellula nervosa).
Una volta introdotta l'ipersuperficie S, non si fa altro che definire un moving frame tale che uno dei vettori è normale alla superficie e gli altri sono nella superficie stessa.
Dalla definizione del termine 'normale' sembra essere una proprietà 'naturale' del flusso vettoriale.
La direzione dipende dall'orientamento della base ortonormale della ipersuperficie
E qui chiedo venia: voglio capire su che cosa mi crea confusione: intendi che a seconda dell' orientamento della base ortonormale dell' ipersuperficie potrebbe cambiare la direzione del flusso vettoriale rispetto alla superficie ? Ma per definizione il flusso non è normale, cioè ortogonale ?
Qui dicono
http://www.youmath.it/forum/algebra-lin ... elati.htmlche
"il problema alla base è cercare di dedurre la formula dal prodotto scalare [...] i vecchi vettori di base risulteranno non piu ortogonali nella nuova base [..] il prodotto scalare non si conserva da una base all'altra ma dipende proprio da essa"
Io penso che però il problema non siano le base o i prodotti scalari, ma
nel passaggio da una base all'altra, nel
flusso ortogonale del gradiente, da cui parte la mia ipotesi, c'è qualcosa legato all' operatore Nabla rispetto alla funzione scalare (-> campo scalare). L'operatore fa qualcosa che 'potrebbe non fare', non so come spiegarmi, questa violazione dovrebbe determinare un flusso non-ortogonale, per cui per me non mi aiuta partendo dal prodotto scalare, ma dalla proprieta anticommutativa del prodotto vettoriale in quanto l'operatore nabla è una funzione vettoriale. Secondo la mia ipotesi, se è possibile parlare di un flusso non-ortogonale, allora il prodotto vettoriale può diventare, temporaneamente, non-anticommutativo, non so se questo vuol dire commutativo, cmq non-anticommutativo.
Inoltre non mi è molto chiaro su come si fa a cambiare l' orientamento della base ortonormale dell' ipersuperficie, forse non ho capito ancora l'importanza della definizione del moving frame, sto lottando a capirla, la difficoltà è dovuta al fatto che io per capire una cosa devo trovare un collegamento con quello che cerco, non comprendo a priori.
Io sostanza vorrei cercare di dare, definire un possibile modello, una rappresentazione
non-ortogonale del flusso vettoriale di un campo gradiente (che per definizione ha un flusso ortogonale) in modo da ottenere una particolare classe di vettori che agiscano attraverso un potenziale campo scalare X, quindi non proprio un campo scalare (tipo C.Higgs), ma un potenziale scalare X in modo da introdurre una sorta di
campo virtuale: mi serve un modello per 'agganciarmi' all'operatore altrimenti non funziona l'esperimento.
Voglio calcolare una condizione per verificare se il nostro operatore fa proprio tutto quello che dovrebbe fare, cioè se rispetta le regole, per fare questo ho bisogno di vedere in che modo il flusso ortogonale si comporta, se esistono fluttuazioni, deviazioni o interruzioni allora è evidente che qualcosa è stato violato, quindi se fosse vero questo allora esiste un flusso virtuale del flusso vettoriale: questa sarebbe allora qualcosa che agisce come una
proiezione (omomorfismo suriettivo) - devo essere poi in grado di poter definire un funzionale e una funzione misurabile, in modo da poter misurare questa violazione, ovviamente in termini matematici, mi serve questo strumento.
Ho l'impressione che tu abbia qualcosa in mente
Il proiettore.Mi rendo conto di violentare la matematica, ma per me è difficile parlare per formule, se non traduco la formula in immagine io non capisco quello che cerco. Poi posso anche razionalizzare l'immagine in simboli.
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Sappiamo che il gradiente trasforma uno scalare in un vettore, la ragione per cui mi interessa il Nabla è che a me serve l'operatore - gli elementi che io ho di partenza sono
- gradiente o campo gradiente
- campo scalare, scalare
- flusso ortogonale del particolare campo (gradiente)
Scopo:
- flusso non ortogonale per determinare una particolare classe di vettori che agiscano attraverso un potenziale campo scalare X. Non mi basta parlare di vettori, parlo di una classe di vettori che si comporta come una particolare
azione sul campo scalare.
Non riesco a capire dalle nuove definizioni date se tecnicamente si potrebbe farlo perchè qui si parla di basi ortonormali, c'è qualcosa che mi sfugge, cmq ottima questa idea di usare le forme differenziali, mi piace.