Curvatura di una curva

[anto_zoolander]

Ciao

È possibile definire la curvatura di una curva a partire dalla componente radiale dell’accelerazione?
Per intenderci intendo la componente dell’accelerazione che è normale alla velocità.

[dissonance]

E non è proprio quella la definizione standard?

[anto_zoolander]

Sul mio libro è definito a partire dalla lunghezza di un arco di curva

[killing_buddha]

No, è leggermente più complicato: è definita mediante la parametrizzazione in ascissa curvilinea. https://it.wikipedia.org/wiki/Curva_pia ... curvilinea

[anto_zoolander]

FAtemi gli auguri, è il mio compleanno

Tornando ai discorsi seri: la definizione mediante riparametrizzazione all’ascissa curvilinea l’ho fatta, ma non è possibile andarci per mezzo della componente centripeta? Sarebbe più bello.

[killing_buddha]

Prova a fare una domanda più formale; mica stiamo a fare fisica, ti pare che riesca a trovare ammissibile la parola "centripeta"?

[anto_zoolander]

Hai ragione, ho preso un abbaglio.

In generale quando una curva è due volte derivabile, è possibile spezzare la derivata seconda(accelerazione) in somma di due vettori ortogonali di cui uno è parallelo alla derivata prima e l’altro sarà normale ad esso.

In particolare è $a(t)=(a(t)-c*v(t))+c*v(t)$
Dove $c=(a(t),v(t))/(v(t),v(t))$
Quindi $c*v(t)$ è la proiezione ortogonale di $a(t)$ lungo la direzione di $v(t)$ e $a(t)-c*v(t)$ è normale a $v(t)$

Quindi ponendo $a(t)-cv(t)=a_R(t)$ è $cv(t)=a_T(t)$ si ottiene $a(t)=a_R(t)+a_T(t)$
Chiaramente $a_R(t)$ è responsabile dei cambi di direzione
Quindi volevo sapere se si potesse arrivare al definire la curvatura per mezzo di $a_R(t)$

[axpgn]

Auguri!!!!

[killing_buddha]

Rimarrà anche una dipendenza dalla velocità, in generale. La curvatura è
\[
\kappa = \frac{|\dot r\land \ddot r|}{|\dot r|^3} = \frac{|\dot r\land a_R|}{|\dot r|^3}
\]

[anto_zoolander]

@alex
Sapevo che non saresti mancato, grazie

@kill
Ti farò vedere che si può