zio_mangrovia ha scritto:Rispetto a quale asse? Entrambi?
Rispetto a entrambi gli assi.
zio_mangrovia ha scritto:... immagino che il simbolo $^^$ significhi ...
Certamente.
zio_mangrovia ha scritto:Non capisco come mai nella scrittura che hai indicato manca $[\rho^2+2\rhosin\phi gt= 0]$ ...
Perché, limitandosi al primo quadrante, $[x^2+y^2+2y gt= 0]$ non è necessaria.
zio_mangrovia ha scritto:Noto che $\phi$ oscilla tra $0$ e $\pi/2$ ...
Premesso che sarebbe più corretto scrivere che $\phi$ varia tra $0$ e $\pi/2$, limitandosi al primo quadrante:
$\{(x gt= 0),(y gt= 0):} rarr \{(\rhocos\phi gt= 0),(\rhosin\phi gt= 0):} rarr \{(cos\phi gt= 0),(sin\phi gt= 0):} rarr [0 lt= \phi lt= \pi/2]$
Solo dopo ho considerato l'ulteriore condizione di cui parli.
zio_mangrovia ha scritto:$[\rho gt= 2sin\phi]$ si ottiene dividendo per $\rho$?
Certamente. Dato che $[\rho gt= 0]$, si ottiene una disequazione equivalente.
zio_mangrovia ha scritto:$[2sin\phi lt= 1]$ come è stato ricavato?
1. Dominio interno al cerchio di centro $(0,0): [\rho^2-1 lt= 0] rarr [0 lt= \rho lt= 1]$
2. Dominio esterno al cerchio di centro $(0,1): [\rho^2-2\rhosin\phi gt= 0] rarr [\rho gt= 2sin\phi]$
3. Primo quadrante: $[0 lt= \phi lt= \pi/2]$
Il sistema costituito dalle prime due disequazioni:
$\{(0 lt= \rho lt= 1),(\rho gt= 2sin\phi):}$
ammette soluzioni se e solo se $[2sin\phi lt= 1]$.
zio_mangrovia ha scritto:Qua il $\pi/6$ come è stato ricavato?
Non rimane che mettere a sistema le seguenti:
$\{(0 lt= \phi lt= \pi/2),(2sin\phi lt= 1):} rarr \{(0 lt= \phi lt= \pi/2),(sin\phi lt= 1/2):} rarr \{(0 lt= \phi lt= \pi/2),(0 lt= \phi lt= \pi/6):} rarr [0 lt= \phi lt= \pi/6]$
Giova sottolineare che si tratta di una risoluzione più analitica che grafica. Non c'è ombra di dubbio che, quando possibile, la risoluzione grafica accompagnata da sistemi di equazioni piuttosto che di disequazioni sia più intuitiva.
zio_mangrovia ha scritto:Sia l’integrale di $(x^2+y^2)^(−1/2)$ esteso alla regione ...
Avendo modificato la funzione integranda, si tratta di un integrale doppio generalizzato:
$[I=4\int_{0}^{\pi/6}d\phi\int_{2sin\phi}^{1}d\rho\rho\rho^(-1)=4\int_{0}^{\pi/6}d\phi\int_{2sin\phi}^{1}d\rho]$
A rigore, bisognerebbe integrare con alcune argomentazioni di carattere più teorico che pratico.