@Alex,
visto che non chiarisci, saltiamo la terza domanda e passiamo alla quarta.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Riesco a pensare solamente a due approcci diversi, ma ve ne saranno sicuramente altri, probabilmente più semplici.
1)
Usare la funzione di ripartizione, calcolare cioè la probabilità che entro l'ennesima estrazione siano comparse $ k $ carte del medesimo seme. Per $ n<2k $ le cose sono semplici:
$ F(n,k)=4 ((52),(n))^{-1} sum_{i=k}^n ((13),(k))((39),(n-k))$.
Poi, a causa della possibile presenza di più k-ple di semi diversi, le cose si complicano ed occorre usare il metodo di inclusione/esclusione, comunque si può fare.
Nota la funzione di ripartizione, la probabilità che, per la prima volta si abbiano $ k $ carte del medesimo seme all'ennesima estrazione si ricava per differenza $ P(n,k)=F(n,k)-F(n-1,k) $.
2)
Calcolare direttamente P(n,k) come prodotto della probabilità di avere, dopo l'estrazione di $n-1$ carte, in uno o più semi $ k-1 $ carte e meno nei semi restanti, per la probabilità di ottenere all'ennesima estrazione una carta del seme (dei semi) pronti alla promozione. Molto lungo ma, con tanta pazienza, si riesce a calcolare, perché, al variare di $ n $, alcuni casi risultano impossibili. Ad esempio per P(21,7) possiamo avere dopo $20$ estrazioni (i numeri sono le carte nei vari semi):
1) (6) 4, 5, 5 in $((13),(6)) 4 ((13),(4))((13),(5))^2 3=m_1$ maniere diverse;
2) (6,6) 3,5; 4,4 in $((13),(6))^2 6(((13),(3))((13),(5)) 2+((13),(4))^2)=m_2$ modi;
3) (6,6,6) 2 in $ ((13),(6))^3 4((13),(2)) =m_3$ modi.
Allora $ P(21,7)=7/32 (m_1+2m_2+3m_3)((52),(20))^{-1} $
Per P(16,7)
1) (6) 0,4,5; 1,3,5; 1,4,4; 2,2,5; 2,3,4; 3,3,3 in $ ((13),(6))4 (((13),(4))((13),(5)) 6+....+ ((13),(3))^3)=m_1$;
2) (6,6) 0,3: 1,2 in $((13),(6))^2 6(((13),(3))2+((13),(1))((13),(2)) 2)=m_2$
$ P(16,7)=7/37 (m_1+2m_2)((52),(15))^{-1} $
Edit: inseriti gli indispensabili esponenti "-1" Ciao
Stephen Wolfram non mi è simpatico, anche perché il malefico Wolfram|Alpha non mi permette di credere che $ e^\pi=(640320^3+744)^(1/\sqrt(163)) $.
"Sono venticinque secoli che la filosofia inquadra i problemi, ma non scatta mai la foto.” - Edoardo Boncinelli, L'infinito in breve.