Re: Punti di accumulazione su circonferenza

Messaggioda .Ruben. » 11/03/2018, 09:18

anto_zoolander ha scritto:@ruben non vale :lol:

Che hanno di male i complessi?
Hahahahahah
.Ruben.
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Re: Punti di accumulazione su circonferenza

Messaggioda Ianero » 11/03/2018, 12:16

Sto cominciando a leggere questa qui:

dissonance ha scritto:@Ianero: ... Una risorsa più leggibile è questo bellissimo post di Martino:

viewtopic.php?p=256504#p256504


Innanzitutto chiedo conferma su alcune definizioni e notazioni.
Dire che il mio insieme $\mathcal{A} \subset [- \pi R, \pi R)$ è denso in $[-\pi R, \pi R)$, vuol dire che ogni punto di $[-\pi R, \pi R)$ o appartiene ad $\mathcal{A}$ o è un punto di accumulazione di $\mathcal{A}$. Corretto?
In tal caso io prima stavo cercando proprio di dimostrare che $\mathcal{A}$ è denso in $[-\pi R, \pi R)$.

Poi, per comodità riporto qui la dimostrazione di Martino:

Martino ha scritto:Lemma 1: un sottogruppo additivo $G$ di $RR$ che ammette un punto di accumulazione in $RR-G$ è denso in $RR$.
Dim: se $x in RR-G$ è di accumulazione per $G$ allora esiste una successione $(x_n)_n$ in $G$ che converge a $x$, e in particolare non è definitivamente costante essendo $x notin G$. Ne segue che la successione non definitivamente costante $(x_n-x_{n-1})_n$ di $G$ converge a $0$, quindi esistono in $G$ elementi $g$ arbitrariamente vicini a zero. Ne segue che i sottogruppi $gZZ$ di $G$ sono arbitrariamente fitti in $RR$. Da cui la densità di $G$.

Lemma 2: un sottogruppo additivo $G$ di $RR$ che contiene tutti i suoi punti di accumulazione è del tipo $xZZ$ per qualche $x$.
Dim: l'insieme ${g in G\ |\ g>0}$ ammette minimo perché il suo inf è un punto di accumulazione per $G$ e quindi appartiene a $G$. Sia $x$ tale minimo. Allora $xZZ subseteq G$ perché $G$ è un sottogruppo; viceversa se esiste $g notin xZZ$ in $G$ allora detto $xz$ l'elemento di $xZZ$ più vicino a $g$ si ha $xz-g,g-xz in G$ e $0<|xz-g|<x$, assurdo per minimalità di $x$. Quindi $G=xZZ$.

Lemma 3: se $alpha/(beta)$ è irrazionale, $<alpha,beta> = {alpha m+beta n\ |\ m, n\in ZZ}$ è un sottogruppo additivo di $RR$ non del tipo $xZZ$.
Dim: che quello scritto sia un sottogruppo additivo di $RR$ è evidente. Supponiamo che sia del tipo $x ZZ$ con $x in RR$. Allora detto $gamma = alpha/(beta)$, anche $<gamma,1> = {gamma m + n\ |\ m,n in ZZ}$ è del tipo $x ZZ$ (scambiando $x$ con $x/(beta)$). Quindi esistono interi $u,v$ tali che $gamma = x u$ e $1 = x v$, il che contraddice l'irrazionalità di $gamma$.

Quindi: $<alpha,beta>$ è un sottogruppo additivo di $RR$ non del tipo $xZZ$ per il lemma 3, ne segue che non contiene tutti i suoi punti di accumulazione per il lemma 2, e quindi è denso per il lemma 1.


Non ho capito cosa significano le scritture ... non del tipo $xZZ$, oppure i sottogruppi $gZZ$ di $G$.
Vorrei prima chiarirmi questo e poi procedere con la lettura.

Grazie.
La Luna è più importante del Sole, lui brilla solo quando fa chiaro.
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Re: Punti di accumulazione su circonferenza

Messaggioda dissonance » 11/03/2018, 16:05

La scrittura \(x\mathbb Z\) significa \(\{xn\ :\ n\in\mathbb Z\}\), è un sottoinsieme di \(\mathbb R\) che è anche un sottogruppo additivo.
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Re: Punti di accumulazione su circonferenza

Messaggioda anto_zoolander » 11/03/2018, 17:07

.Ruben. ha scritto:
anto_zoolander ha scritto:@ruben non vale :lol:

Che hanno di male i complessi?
Hahahahahah


Testo nascosto, fai click qui per vederlo
stai copincollando questa dimostrazione ovunque :-D
Ovviamente scherzo eh! È molto bella come dimostrazione. Quanto ci hai messo?
$sum_(n=0)^(infty)phi^(2n)=sum_(n=0)^(infty)(phi+1)^n=Phi$

$sum_(n=0)^(infty)|phi|^n=1+Phi$

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Re: Punti di accumulazione su circonferenza

Messaggioda .Ruben. » 11/03/2018, 18:29

anto_zoolander ha scritto:
.Ruben. ha scritto:
anto_zoolander ha scritto:@ruben non vale :lol:

Che hanno di male i complessi?
Hahahahahah


Testo nascosto, fai click qui per vederlo
stai copincollando questa dimostrazione ovunque :-D
Ovviamente scherzo eh! È molto bella come dimostrazione. Quanto ci hai messo?

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
É che moltissimi utenti recentemente hanno posto questa questione :-)
Ci ho messo un sacco; in realtà è dal test della normale ad agosto che penso a come dimostrare per bene quella proposizione, ma mi ci sono messo sul serio per 2-3 giorni dopo gli esami del primo semestre.
.Ruben.
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Re: Punti di accumulazione su circonferenza

Messaggioda Ianero » 12/03/2018, 23:07

Ho letto con calma la dimostrazione e l'ho capita, applicarla al mio caso diventa più che banale ora.
Questa dimostrazione di Martino è a dir poco magnifica, complimenti, se ci leggerà.

Grazie a voi tutti e grazie in particolare a @dissonance per averla riportata alla luce.
La Luna è più importante del Sole, lui brilla solo quando fa chiaro.
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Re: Punti di accumulazione su circonferenza

Messaggioda dissonance » 13/03/2018, 01:17

Ianero ha scritto:Ho letto con calma la dimostrazione e l'ho capita, applicarla al mio caso diventa più che banale ora.
Questa dimostrazione di Martino è a dir poco magnifica, complimenti, se ci leggerà.

Mandagli un messaggio privato, lo fai contento.
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Re: Punti di accumulazione su circonferenza

Messaggioda Ianero » 13/03/2018, 09:48

Giusto :smt023
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Re: Punti di accumulazione su circonferenza

Messaggioda Martino » 13/03/2018, 18:22

Ahaha grazie :) anch'io me la ricordo quella dimostrazione, mi pare che avevo raccolto delle informazioni già esistenti sui sottogruppi densi di $RR$. Grazie anche per aver riportato il mio interesse alla sezione di analisi, le darò un'occhiata di tanto in tanto :)
Le persone che le persone che le persone amano amano amano.
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