Richiesta esempio

[jack22]

Salve a tutti,
potete farmi un esempio di una funzione che all'infinito va a 0 ma la derivata prima, all'infinito, NON va a 0?
Grazie

[gugo82]

Costruiscilo da te... È facile!
Prova a moltiplicare $1/x$ per una funzione limitata ma fortemente oscillante in $+oo$.

[Palliit]

Traccia infiniti segmenti di pendenza $pi/4$ compresi tra le iperboli $y=1/x$ e $y=-1/x$. L'equazione trovala tu.

EDIT: Ciao gugo, il mio è partito in ritardo...

[jack22]

Uhm dunque ho preso
\( f(x) = \dfrac{\sin(x)}{x} \)
\( f'(x) = \dfrac{\cos(x)x - \sin(x)}{x^2} = \dfrac{\cos(x)}{x} - \dfrac{\sin(x)}{x^2} \)
Ma
\( \lim\limits_{x \to +\infty} f'(x) = 0\)
No?

[jack22]

Traccia infiniti segmenti di pendenza $pi/4$ compresi tra le iperboli $y=1/x$ e $y=-1/x$. L'equazione trovala tu.

EDIT: Ciao gugo, il mio è partito in ritardo...

Uhm mi sa che non sono così bravo Ma non mi sembra una funzione continua quella che descrivi, no? Molto probabilmente ho capito male

[gugo82]

Ok, il tuo esempio non funziona. Ma analizziamolo ugualmente (perché dai fallimenti si può sempre imparare!).

Qual è il problema nella tua derivata?
Ci sono entrambi gli addendi che tendono a zero.

Perché?
Perché la funzione seno, anche se limitata ed oscillante intorno a $+oo$, non oscilla abbastanza velocemente.

Come puoi modificarla?
Osserva che la velocità di oscillazione intorno a $+oo$ dipende da quanto velocemente tende a $+oo$ l'argomento del seno; dunque un'ottima idea potrebbe essere quella di sostituire alla $x$ nel seno una funzione che tenda a $+oo$ più velocemente di $x$...

Che mi dici ora?

[jack22]

Dunque ho preso
\( f(x) = \dfrac{\sin(x^2)}{x} \) e sembra funzionare, perchè
\( f'(x) = 2\cos(x^2) - \dfrac{\sin(x^2)}{x^2}\)
All'infinito resta un termine che non va a 0

[gugo82]

Bravo.

Spero che tu abbia capito come funziona la creazione di un esempio/controesempio e, soprattutto, che non devi demordere, devi analizzare gli errori e devi cercare di porvi rimedio.

P.S.: Più in generale, analizzati il comportamento della funzione $x^(- alpha) sin (x^(beta))$ con $alpha , beta >0$.

[jack22]

Traccia infiniti segmenti di pendenza $pi/4$ compresi tra le iperboli $y=1/x$ e $y=-1/x$. L'equazione trovala tu.

EDIT: Ciao gugo, il mio è partito in ritardo...

Mi dai dei suggerimenti ulteriori per costruire questa funzione?

[Palliit]

@jack: più facile da descrivere qualitativamente che da esprimere analiticamente, la soluzione di @gugo è indubbiamente più immediata.