Eliminare il tempo nei sistemi dinamici

[zariski]

Ciao a tutti, come anticipato torno a scrivere in questo topic chiedendo delucidazioni circa un passaggio che non mi e' molto chiaro.
Supponiamo che abbia il seguente sistema di equazioni:
$$\begin{cases}
\dot x= \frac{dx}{dt} = f(x, y)\\
\dot y = \frac{dy}{dt} = g(x, y)
\end{cases}
$$
A lezione ho visto che, durante la ricerca di un integrale primo (chiamata anche costante del moto nel caso di sistemi dinamici), si puo' tentare di eliminare la dipendenza dal tempo, quello che non mi e' chiaro sono le modalita' in cui cio' avviene.
I passaggi a cui mi riferisco e' quello in cui viene trattato il $dt$ come se fosse in effetti un numero, insomma viene detto che $dx = f(x, y) dt$ e che $dy = g(x, y) dt$ con conseguente "semplificazione" del $dt$ al fine di ottenere:
$$\frac{dx}{dy} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}$$
Che magia nera e' questa?
La cosa acquisisce un po' di senso se considero l'analisi non standard, ma a livello solo intuitivo non avendola mai studiata, inoltre non credo ci sia bisogno di scomodarla. Insomma, qualcuno sa darmi una spiegazione un po' piu' formale e "standard" della cosa?

Forse questa domanda avrebbe piu' senso farla nel topic di analisi, nel caso (dico agli moderatori) spostate pure o ditemelo che lo richiedo di la.

Grazie mille.

[professorkappa]

Ma non e' magia.
C'e' un teroma che dice che se 2 funzioni f(x) e g(x) hanno hanno per limite rispettivamente k e n, il rapporto del limite di $f(x)/g(x)=k/n$

La derivata e' il limite a zero di un rapporto incrementale.....ergo....

[mathbells]

Forse questa domanda avrebbe piu' senso farla nel topic di analisi

Se fai questa domanda ai matematici, quelli mettono in ginocchio sui ceci te e il tuo professore, e tutti i discendenti per sette generazioni!!

Che magia nera e' questa?

E' la magia di una notazione che rispecchia correttamente il senso matematico dell'operazione rappresentata. La derivata è il rapporto (il limite....) di due quantità e quindi nulla di strano se applichiamo l'algebra delle frazioni a quella notazione. Se vuoi convincerti che il tutto si regge, considera l'esempio del moto del proiettile sul piano xy, che per semplicità consideriamo sparato orizzontalmente partendo da un'altezza h sulla verticale dell'origine degli assi. Le leggi orarie sono

\(\displaystyle x(t) = vt \)
\(\displaystyle y(t)=h-\frac{1}{2}gt^2 \)

e quindi, derivando ed eliminando il tempo tramite \(\displaystyle t=\frac{x}{v} \) , si trova

\(\displaystyle \dot x = v = f(x,y)\)
\(\displaystyle \dot y = -\frac{g}{v}x=g(x,y) \)

Se ora fai il rapporto tra le due derivate temporali trovi

\(\displaystyle \frac{\dot x}{\dot y}= \frac{f(x,y)}{g(x,y)}=-\frac{v^2}{gx} \)

Ora, il rapporto tra le derivate temporali, usando la notazione dei differenziali, è pari a \(\displaystyle \frac{dx}{dy} \) e questa sarebbe la "magia", che però puoi verificare essere effettivamente vera derivando rispetto ad \(\displaystyle y \) la relazione \(\displaystyle y=h-\frac{1}{2}g\frac{x^2}{v^2} \) (che si ottiene dalle leggi orarie eliminando il tempo); si trova infatti
\(\displaystyle 1=-\frac{1}{2v^2}g2x\frac{dx}{dy} \) da cui \(\displaystyle \frac{dx}{dy}= -\frac{v^2}{gx} \)

[Vulplasir]

Uno studente di matematica appena mette piede fuori dalla sezione di analisi è perso

[killing_buddha]

Uno studente di matematica appena mette piede fuori dalla sezione di analisi è perso

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Hai confuso il fuori col dentro, e l'analisi con la matematica