Gruppo degli automorfismi abeliano

[otta96]

Stavo studiando algebra quando mi sono incappato in una cosa che non mi ricordo come si fa e per questo vi chiedo aiuto; la domanda è: il gruppo degli automorfismi di un gruppo ciclico è abeliano? Questa è la domanda principale ma me ne vengono in mente anche altre collegate, per esempio: è anche ciclico? funziona anche se si parte da un gruppo abeliano? funziona se e solo se si parte da un gruppo abeliano?

[killing_buddha]

$Aut(ZZ) = C_2$ è ciclico, ma \(Aut(\mathbb Z/n\mathbb Z)\) non è sempre ciclico (lo è se e solo se $n$ è potenza di un primo, altrimenti è prodotto di ciclici: la formula esatta è
\[
Aut(\mathbb{Z}/n\mathbb Z) \cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\cong (\mathbb{Z}/{p_1^{k_1}}\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/{p_2^{k_2}}\mathbb{Z})^\times \times (\mathbb{Z}/{p_3^{k_3}}\mathbb{Z})^\times \dots\;
\] dove i primi sono i primi distinti, con il loro esponente, che dividono $n$. Il gruppo degli automorfismi di $ZZ_{p^k}$ invece è ciclico, puoi dimostrarlo da te

[Martino]

Aut(Z8) non è ciclico.

[killing_buddha]

Non è isomorfo a \(\mathbb Z/4\mathbb Z\)? https://drexel28.wordpress.com/2011/09/ ... up-of-znz/

[Martino]

Non è isomorfo a \(\mathbb Z/4\mathbb Z\)? https://drexel28.wordpress.com/2011/09/ ... up-of-znz/

Questo link tratta solo primi dispari.

In generale il gruppo degli automorfismi di $ZZ//nZZ$ è il gruppo delle unità dell'anello $ZZ//nZZ$ quindi basta scriverne gli elementi e vedere che se $n$ è una potenza di $2$ l'Aut non è mai ciclico (a parte quando $n=2$ o $n=4$).

[killing_buddha]

Non è isomorfo a \(\mathbb Z/4\mathbb Z\)? https://drexel28.wordpress.com/2011/09/ ... up-of-znz/

Questo link tratta solo primi dispari.

In generale il gruppo degli automorfismi di $ZZ//nZZ$ è il gruppo delle unità dell'anello $ZZ//nZZ$ quindi basta scriverne gli elementi e vedere che se $n$ è una potenza di $2$ l'Aut non è mai ciclico (a parte quando $n=2$ o $n=4$).

Aha, ok, non avevo visto che funziona solo coi primi dispari!