Velocità di deformazione di un fluido

[Lelouko]

Allora sto studiando un po' meccanica dei fluidi, e mi sono imbattuta in questo:
Una particella fluida per effetto del gradiente di velocità in figurahttp://i67.tinypic.com/2zricr7.jpg, la velocità verticale dei due vertici O e A non è la stessa. Il vertice a destra avrà una velocità superiore, tale che la differenza tra i due spostamenti sia:
$d\xi_2= (delu_2)/(delx_1)\Deltax_1 dt$
Questa parte non riesco a capirla molto bene, perchè per descrivere questo spostamento si scrive cosi?

[Vulplasir]

Ma ancora questi metodi primitivi vi insegnano? MA come si fa a capirci qualcosa con quei disegnini? Ecco come sta la questione per bene:
Sia $v(x)$ il campo di velocità di un continuo (non c'è nessun bisogno che sia un fluido, la teoria è generale, a discapito di quanto vi insegnano), possiamo farne l'espansione in serie di Taylor attorno a un generico punto $x_0$:

$v(x)=v(x_0)+gradv(x_0)(x-x_0)+o(abs(x-x_0))$

Possiamo scomporre il gradiente di v in parte simmetrica e antisimmetrica:

$gradv=1/2(gradv+gradv^T)+1/2(gradv-gradv^T)$

Chiamiamo $D=1/2(gradv+gradv^T)$ la velocità di deformazione (è un tensore simmetrico) e $Omega=1/2(gradv-gradv^T)$ la velocità di rotazione (è un tensore antisimmetrico).

Quindi:

$v=v(x_0)+D(x-x_0)+Omega(x-x_0)$

Ossia in un intorno di ogni punto $x_0$ la velocità è ottenuta come somma della velocità del punto $x_0$, della velocità di deformazione in un intorno di x_0 e della velocità di rotazione attorno a $x_0$

Il termine $D=1/2(gradv+gradv^T)=1/2(grad((du)/(dt))+grad((du)/(dt))^T)=d/(dt)1/2(gradu+gradu^T)=dotepsilon$
e' proprio la derivata temporale del tensore delle piccole deformazioni, quello che il tuo testo vuole ottenere con quel metodo osceno.

Inoltre si parte proprio da quella espressione di v per ottenere le equazioni di Navier-Stokes, perché quella equazione ci dice che quando D=0 il moto in un intorno di x_0 è un moto rigido, ossia SENZA deformazione, da qui si parte col cercare un tensore degli sforzi che dipenda linearmente da D e che si annulli quando D=0, perché quando D=0 non c'è scorrimento relativo e quindi non si manifesta la viscosità. Mentre nei tipici testi danno le equazioni di navier-stokes come se uscissero fuori da qulche cilindro magico senza motivo.

[dRic]

Scusate se mi intrometto

@Vulplasir, per caso conosci qualche libro che riporti in maniera più dettagliata il procedimento da te esposto? Mi interesserebbe approfondirlo perché mi è nuovo e sembra più immediato di quello a cui sono abituato. In particolare mi interessa il collegamento che hai fatto con le equazioni di NS (che non ho capito molto bene)

[Vulplasir]

Io l'ho studiata in questo corso che ho seguito http://www.dma.unifi.it/~frosali/didatt ... parte4.pdf

Il problema è essenzialmente questo:

Quando localmente in un punto il campo di velocità non è rigido, ci sono scorrimenti/deformazioni relative, che sono alla base della viscosità. Vogliamo quindi tenere conto della viscosità per modificare l'espressione dello sforzo in un fluido, che nel caso ideale non viscoso era $sigma=-pI$, mentre adesso dovrà essere $sigma=-pI+S$. con S un tensore che tenga conto della viscosità. Per quanto detto questo S deve avere queste proprietà:

1) Deve essere lineare rispetto alla velocità di deformazione $D$, e che si annulli quando D=0, infatti per quanto detto quando D=0 il campo di moto locale è rigido e non c'è deformazione/scorrimento relativo che possa far inorgere viscosità (perché lineare? perché lo decidiamo noi, gran parte degli effetti viscosi è lineare nella velocità, ma niente ci vieta di scegliere una relazione csotitutiva quadratica nelle velocità o quant'altro, basta solo che questa relazione poi sia effettivamente verificata nei fluidi reali, e quella lineare lo è nella maggior parte)
2) deve essere isotropo
2) deve essere simmetrico (perché il tensore degli sforzi è simmetrico)

Adesso, se hai fatto un po' di meccanica dei continui, ti accorgerai che questo problema è del tutto analogo al problema della ricerca della relazione costitutiva elastica lineare (che è spiegata in quel pdf alla fine), solo che il tensore delle piccole deformazioni $epsilon$ è sostituito dal tensore velocità di deformazione $D=dotepsilon$, ma le richieste sono le stesse (linearità, isotropia, simmetria). e quindi, se la soluzione del problema elastico lineare ci dice:

$sigma=lamdatrepsilonI+2muepsilon$

Allora il problema della ricerca del tensore viscoso S ci deve dire:

$S=lamdatrDI+2muD$

Quindi il tensore degli sforzi in un fluido viscoso è:

$sigma=-pI+lamdatrD+2muD$ dove $lamda$ e $mu$ sono i coefficienti di viscosità. Con opportune trasformazioni algebriche, imponendo $2u+3lamda=0$, condizione che caratterizza i cosiddetti fluidi newtoniani, si arriva a eliminare $lamda$ dalle equazioni di navier stokes, ecco perché quando si parla di viscosità ci si riferisce sempre a $mu$

[dRic]

Finalmente ho "capito" da dove viene quel $\tau_{ij} = 2\mu \epsilon_{ij}$
L'ho sempre preso come dogma della meccanica dei fluidi...

Grazie per il pdf comunque

[Vulplasir]

$tau=2mudotepsilon$ è valido solo per i fluidi incomprimibili, e chiaramente deriva da quella generale ponendo $trD=0$, che vale quando il fluido è incomprimibile. Un'altra cosa importante che non viene detta è che la viscosità non riguarda solo gli sforzi di taglio, ma chiaramente anche gli sforzi normali, a discapito di quello che viene detto quando si introduce la viscosità, infatti gli ammortizzatori idraulici funzionano proprio su questo principio, c'è una compressione normale sul fluido a una certa velocità, e il fluido reagisce con forza sempre maggiore all'aumentare della velocità di compressione, ma essendo una compressione non ci sono tagli, quindi la viscosità non ha niente a che fare con il taglio ma è solo una dipendenza del tensore degli sforzi, oltre dal gradiente di deformazione, anche dalla velocità di deformazione $sigma=sigma(epsilon, dotepsilon)$...si potrebbe dimostrare che una relazione costitutiva viscosa non può essere scelta a caso ma deve soddisfare $sigma*dotepsilon>=0$ (e la relazione di prima lo soddisfa), ma qui si va oltre.

[Lelouko]

grazie Vulplasir, sono stata impegnata in questi giorni, quando ho tempo lo guardo e vedo se c’è ancora qualcosa che mi dà dubbio

[Lelouko]

Grazie Vulplasir, però non mi hai spiegato il perchè di quella scrittura per descrivere lo spostamento da una parte di questa particella fluida, cioè ho capito adesso a cosa vuole arrivare il libro che ho, ma non il metodo, e poi perchè sarebbe osceno?
Ho bisogno di capirlo perchè può anche essere che il professore lo chieda all’esame e non so se spiegandoglielo come hai fatto tu possa andare bene.

[Vulplasir]

Il metodo è osceno perché fa quello che ho fatto io ma non dichiarandolo. Quello fatto nel libro e solo una approssimazione con Taylor al primo ordine, che è la cosa che ho fatto io, solo che è fatta con le componenti, non in una ottica generale, e soprattutto fa perdere di mira il fatto che la approssimazione con Taylor del campo di velocità e pure del campo degli spostamenti coinvolge un tensore di rotazione e uno di deformazione(tu avrai sentito parlare del tensore delle piccole deformazioni/deformazioni infinitesime...ma scommetto che non hai mai sentito parlare del tensore delle piccole rotazioni...questo perché si usa quel metodo osceno che non ti fa capire cosa stai facendo).

Innanzitutto non è la velocità di una particella che si studia, NON esistono le particelle, esiste solo il continuo, e in ogni punto x del continuo è associata una velocità $v(x)$, quello che si vuole fare è vedere come varia il campo di velocità v(x) in un intorno del punto x (ossia vedere qual è la velocità dei punti vicini a x, NON la velocità dsel punto x, quella la conosciamo), ossia vogliamo determinare la velocità relativa tra il punto x e un punto x' vicino a x.

RIferendoci al tuo disegno, il punto O corrisponde al punto x che ti dicevo prima, è il punto di cui conosciamo la velocità, ci si pone in un sdr solidale ad O, e vogliamo determinare la velocità verticale di A. Chiamiamo $v_2(x_1)$ il campo di velocità verticale, ossia l'andamento della velocità verticale lungo l'asse $x_1$, essendo A vicino a O, possiamo fare una approssimazione con Taylor, che ci dice: $v_2(A)=v_2(O)+(partialv_2)/(partialx_1)Deltax_1$, sicome siamo nel sdr di O allora $v_2(O)=0$, quindi

$v_2(A)=(partialv_2)/(partialx_1)Deltax_1$ (dove la derivata parziale in questione è calcolata in $x_1=O$, ossia in O, che appunto è il punto di cui conosciamo la velocità.

Ma la velocità verticale di A sarà pari al rapporto tra lo spostamento elementare $d xi_2$ nel tempo $dt$, quindi:

$d xi_2=(partialv_2)/(partialx_1)Deltax_1dt$

C'è qualche differenza con l'applicare subito Taylor al campo di velocità?:

$vecv(x)=vecv(x_0)+gradvecv(x_0)(x-x_0)$? e poi dividere il gradiente in parte simmetrica (deformazione) e parte antisimmetrica (rotazione)?

[Lelouko]

Mm cosa vuoi intendere con l’ultima domanda? Quello che penso è che se applicassi subito taylor e ricavassi tutto, non vedrei che la deformazione angolare di una particella fluida equivarrebbe a due volte la velocità di deformazione... questo volevi dire? Che non sarei riuscita a capire il tutto?