siano $(X,d_X)$ e $(Y,d_Y)$ spazi metrici, siano $KsubseteqX$ compatto e $f:K->Y$ funzione
$f$ continua $=>$ $f(K)$ compatto.
lo so, magari è anche facile, ma studio solo ed ho bisogno di conferme
sia ${a_n}_(n inNN)subseteqf(K)$ una successione
allora $foralln inNN,a_n inf(K) => existsx_n inK:f(x_n)=a_n$
- dunque si ottiene una successione ${x_n}_(n inNN)subseteqK:f(x_n)=a_n,foralln inNN$
- $K$ è compatto dunque esiste una sottossuccessione di $(x_(n_j))_(j inNN)$ convergente ad un certo $x_0 inK$
- $f$ è continua in $K$ quindi $d_X(x_(n_j),x_0)->0 => d_Y(f(x_(n_j)),f(x_0))->0$
- essendo $f(x_(n_j))=a_(n_j)$ si ottiene che $d_Y(a_(n_j),f(x_0))->0$
quindi ${a_(n_j)}_(j in NN)$ è una sottosuccessione di ${a_n}_(n inNN)$ convergente ad $f(x_0) inf(K)$ pertanto è compatto.