Dubbi serie di potenze e serie di Laurent

Messaggioda yonko » 17/04/2018, 03:11

Ciao a tutti!
Ho dei dubbi riguardo la serie di potenze e serie di Laurent.
La funzione $e^(1/z)$ ha una singolarità in $z_0=0$ per cui provo a scrivere la serie laurent in $z_0$.
La prima cosa che mi verrebbe in mente di fare è di riportarmi alla serie di Taylor dell'esponenziale, tuttavia rimango perpresso: per utilizzare la serie di taylor $(1/z)->0$ ergo $z->\infty$. Cosa mi permette di poter utilizzare la serie di taylor in un punto diverso da quello in cui è stato sviluppato?
yonko
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Re: Dubbi serie di potenze e serie di Laurent

Messaggioda pilloeffe » 17/04/2018, 09:32

Ciao yonko,

Non capisco bene quale sia il tuo problema. La funzione che hai citato in $z = 0 $ ha una singolarità essenziale, per la quale valgono il teorema di Casorati-Weierstrass ed il teorema di Picard.
$\AA w \in \CC $ si ha:

$e^w = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{w^n}{n!} $

Posto $w := 1/z $ si trova subito lo sviluppo in serie di Laurent della funzione proposta:

$e^{1/z} = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{n! z^n} = 1 + 1/z + frac{1}{2! z^2} + frac{1}{3! z^3} + ... = 1 + 1/z + frac{1}{2 z^2} + frac{1}{6 z^3} + ... $

Dato che la parte principale di tale sviluppo in serie di Laurent contiene infiniti termini, si conferma che $z = 0 $ è una singolarità essenziale per la funzione proposta.
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Re: Dubbi serie di potenze e serie di Laurent

Messaggioda yonko » 17/04/2018, 10:07

Provo a spiegarmi ulteriormente, perchè non credo di esporre chiaramente i miei dubbi:
Ho un $e^(u)$ e voglio trovarmi la serie di taylor. Mi pongo (ad esempio) in $u_0=0$. Inizio quindi a calcolarmi le derivate in $u_0$ e mi trovo la serie centrata in $u_0$.
Io mi aspetto quindi che questa serie funzioni solo quando $u_0=0$, quindi se ad esempio ho $e^(z)$ e voglio trovarmi la serie centrata in $z_0=3$ provvederò a fare un cambiamento di variabile $x=z-3$ in modo che $x=0$ nel punto di singolarità quindi:
$e^(z)$ = $e^(x+3)$ = $e^(x)*e^3$ = $e^(3)*\sum_{n=0}^\infty(x^n/(n!))$
Ora ritornando all'esempio che ho postato ieri $e^(1/z)$, per ottenere $1/z=0$ e quindi poter utilizzare la serie di Taylor centrata in $zero$, dovrei porre $z->\infty$, ma a questo punto il tutto diventa inutile, dato che per verificare la tipologia di singolarità devo calcolarmi la serie centrata nel punto di singolarità.
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