Dubbi serie di potenze e serie di Laurent

Messaggioda yonko » 17/04/2018, 03:11

Ciao a tutti!
Ho dei dubbi riguardo la serie di potenze e serie di Laurent.
La funzione $e^(1/z)$ ha una singolarità in $z_0=0$ per cui provo a scrivere la serie laurent in $z_0$.
La prima cosa che mi verrebbe in mente di fare è di riportarmi alla serie di Taylor dell'esponenziale, tuttavia rimango perpresso: per utilizzare la serie di taylor $(1/z)->0$ ergo $z->\infty$. Cosa mi permette di poter utilizzare la serie di taylor in un punto diverso da quello in cui è stato sviluppato?
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Re: Dubbi serie di potenze e serie di Laurent

Messaggioda pilloeffe » 17/04/2018, 09:32

Ciao yonko,

Non capisco bene quale sia il tuo problema. La funzione che hai citato in $z = 0 $ ha una singolarità essenziale, per la quale valgono il teorema di Casorati-Weierstrass ed il teorema di Picard.
$\AA w \in \CC $ si ha:

$e^w = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{w^n}{n!} $

Posto $w := 1/z $ si trova subito lo sviluppo in serie di Laurent della funzione proposta:

$e^{1/z} = sum_{n = 0}^{+\infty} frac{1}{n! z^n} = 1 + 1/z + frac{1}{2! z^2} + frac{1}{3! z^3} + ... = 1 + 1/z + frac{1}{2 z^2} + frac{1}{6 z^3} + ... $

Dato che la parte principale di tale sviluppo in serie di Laurent contiene infiniti termini, si conferma che $z = 0 $ è una singolarità essenziale per la funzione proposta.
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Re: Dubbi serie di potenze e serie di Laurent

Messaggioda yonko » 17/04/2018, 10:07

Provo a spiegarmi ulteriormente, perchè non credo di esporre chiaramente i miei dubbi:
Ho un $e^(u)$ e voglio trovarmi la serie di taylor. Mi pongo (ad esempio) in $u_0=0$. Inizio quindi a calcolarmi le derivate in $u_0$ e mi trovo la serie centrata in $u_0$.
Io mi aspetto quindi che questa serie funzioni solo quando $u_0=0$, quindi se ad esempio ho $e^(z)$ e voglio trovarmi la serie centrata in $z_0=3$ provvederò a fare un cambiamento di variabile $x=z-3$ in modo che $x=0$ nel punto di singolarità quindi:
$e^(z)$ = $e^(x+3)$ = $e^(x)*e^3$ = $e^(3)*\sum_{n=0}^\infty(x^n/(n!))$
Ora ritornando all'esempio che ho postato ieri $e^(1/z)$, per ottenere $1/z=0$ e quindi poter utilizzare la serie di Taylor centrata in $zero$, dovrei porre $z->\infty$, ma a questo punto il tutto diventa inutile, dato che per verificare la tipologia di singolarità devo calcolarmi la serie centrata nel punto di singolarità.
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Re: Dubbi serie di potenze e serie di Laurent

Messaggioda Bossmer » 12/05/2018, 09:00

\[ e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!} \]Ciao Yonko il tuo dubbio secondo me è perfettamente legittimo.
Per provare a risolverlo, devo discostarmi dal filo del tuo ragionamento.

Partiamo da un fatto: se una funzione è sviluppabile in serie di Laurent(o di Taylor) in $z_0$ allora il suo sviluppo è unico in $z_0$

Questo risultato ha un implicazione molto importante, e cioè che se tu trovi che una serie (centrata in $z_0$ della forma di Laurent) è uguale alla tua funzione, allora quello è l'unico sviluppo possibile in serie di Laurent di quella funzione in quel punto.

Bene se questo è chiaro, allora da qui il passo è breve, perché se io ho che $$f(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n$$ allora è la forma stessa della serie che mi dice in quale punto è centrata, questo a prescindere da come ci siamo arrivati(purché siano passaggi legittimi).

Veniamo ai tuoi esempi, partiamo dall'ultimo, per come hai terminato i conti tu non hai trovato lo sviluppo di $e^z$ in $z_0=3$ ma hai trovato lo sviluppo di $e^{x+3}$ in $x_0=0$ e questo te lo dice la forma stessa della serie, per trovare lo sviluppo in $z_0=3$ devi fare la sostituzione $x=z-3$ ottenendo così $$e^z=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^3}{n!}(z-3)^n$$ inoltre anche se può sembrare banale, tu non sei partito dal fatto che conoscevi lo sviluppo di $e^z$ in zero, ma conoscevi lo sviluppo di $e^x$ in zero, questa però è una sottigliezza che ci tenevo a farti notare perché può generare confusione.

Quindi il tuo ragionamento mettendo i puntini sulle i, sarebbe questo: se tu sai ad esempio lo sviluppo di $f(x)$ in $x_0$ allora per trovare lo sviluppo di $f(z)$ in $z_0$ devo fare la sostituzione $x-x_0=z-z_0$. E questo ragionamento scritto così è corretto, sicuramente per le serie di Taylor.

Per le serie di Laurent invece lo è parzialmente, questo perché in tali serie abbiamo anche dei termini frazionari, che non possono essere ricondotti ai termini polinomiali con la sostituzione precedente e viceversa. Però questo non è un problema perché non è la sostituzione che faccio che mi determina il centro della serie, ma la forma della serie stessa.

Quindi se tu hai che in $x_0=0$ $$e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$$ allora la sostituzione $x=\frac{1}{z}$ ti genera un uguaglianza $$e^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!z^n}$$ e poiché questa uguaglianza è della forma della serie di Laurent centrata in $z_0=0$, allora per l'unicità dello sviluppo questo è PER FORZA la serie di Laurent di $e^{1/z}$ centrata in zero.

Quindi con le serie di Laurent hanno senso anche altre sostituzioni come ad esempio $x-x_0=\frac{1}{z-z_0}$, ora per quale ragione per il fatto che voglio fare una sostituzione $x=1/z$ questo dovrebbe significare che $1/z=0$ ? Perché il centro è in zero? ma ricorda che è $x_0=0$ non $x=0$ , questa sottigliezza è fondamentale.

Non penso di aver risolto i tuoi dubbi, però forse ti ho dato una mano se c'è qualcosa ancora che non ti torna, scrivi pure :-D
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Re: Dubbi serie di potenze e serie di Laurent

Messaggioda gugo82 » 12/05/2018, 11:00

Risposta breve: oltre ad essere la serie di Taylor centrata in $0$, la serie esponenziale coincide con lo sviluppo di $e^z$ in serie di Laurent centrato in $oo$.
Ciò rende lecita la manipolazione algebrica che ti serve. :wink:
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