Equazione differenziale vettoriale

[dRic]

Salve, scarabocchiando qua e là mi è venuta questa domanda. C'è un modo per integrare un'equazione differenziale vettoriale in "coordinate generiche" ovvero senza bisogno di esprimere il vettore nelle sue componenti?

Mi spiego meglio.

Consideriamo un semplice esempio:

$\frac {d \vec \omega} {dt} = k \vec \omega$ ($k$ è una costante)

Essendo l'operatore di derivazione un'applicazione lineare si vede subito che questo non è che un banalissimo problema di autovalori/autovettori. Per tale ragione è possibile concludere che, in questo caso, l'operazione di derivazione trasforma il vettore $\vec omega$ in un nuovo vettore parallelo a sé stesso. Avendo detto ciò so che la direzione del vettore rimarrà in alterata e pertanto integro semplicemente "in modulo":

$\frac {d \omega} {dt} = k \omega -> \omega = \omega_0 e^{kt} $

Vedete che ho integrato l'equazione senza bisogno di scrivere il vettore $omega$ nelle sue componenti ed integrarle una ad una. E' ovvio che questo sia un caso particolare, però mi sono chiesto: esistono dei "trucchi" o altri casi particolari abbastanza noti per semplificarsi la vita quando mi imbatto in problemi di questo tipo?

Ric

[anto_zoolander]

Penso che alla fine si debba sempre passare per le funzioni coordinate...
Magari si può trovare una base comoda(?) per svolgere l’integrale, anche se mi sembra difficile.

[dRic]

Ciao, tra una cosa e l'altra mi ero dimenticato di rispondere: chiedo venia. Con funzioni coordinate intendi le componenti?

Comunque penso che sicuramente se l'eq diff è riconducibile ad un problema di autovalori allora una scappatoia la riesco a trovare (come in questo caso). Sempre concesso che non abbia detto una cavolata prima!

[dissonance]

Salve, scarabocchiando qua e là mi è venuta questa domanda. C'è un modo per integrare un'equazione differenziale vettoriale in "coordinate generiche" ovvero senza bisogno di esprimere il vettore nelle sue componenti?[...]

Non parlerei di "coordinate generiche" (fa venire in mente un "sistema di coordinate assoluto", concetto che non esiste), ma la risposta è affermativa. In inglese si parlerebbe di metodo "coordinate-free".

$\frac {d \vec \omega} {dt} = k \vec \omega$ ($k$ è una costante)

Questo ha perfettamente senso, perché \(\frac{d}{dt} \vec \omega\) non ha bisogno delle coordinate nella sua definizione:
\[
\frac{d}{dt}\vec \omega (t) = \lim_{h\to 0} \frac{\vec \omega(t+h)-\vec \omega(t)}{h}.\]
E anche la soluzione che dai è corretta.

[gugo82]

Beh, anche nel caso generale:
\[
\omega^\prime (t) = A\ \omega (t)
\]
con $A$ matrice quadrata di dimensione $n$ si può usare un’integrazione con l’esponenziale... Basta usare l’esponenziale della matrice $A$!
La teoria degli esponenziali delle matrici è un po’ pallosa, ma tutto funziona bene se $A$ è diagonalizzabile. Quando non lo è, mi pare si debba considerare la forma canonica di Jordan, ma non è che mi ricordi bene come funzioni la cosa...

Di solito queste cose si trovano sui testi di automazione per ingegneri.

[dRic]

Grazie mille per la conferma. Purtroppo il mio corso di studi non presenta automazione tra gli esami richiesti quindi non ho avuto modo di approfondire. In ogni caso, che voi sappiate, esistono Delle altre circostante in cui è possibile indovinare la direzione del vettore aprioristicamente e quindi integrare "in modulo" in maniera analoga a come fatto adesso?