Best fit di una circonferenza in una curva ellittica

[GiulioT]

Salve a tutti, mi chiamo Giulio, e sono un programmatore con vaghi ricordi di analisi matematica. Sto lavorando (a tempo perso) ad un programma per l'analisi della cornea.
Per poter generare una mappa altimetrica della superficie della corna,si calcola una sfera detta Best Fit Sphere che approssima l'ellittica che modella la cornea. Questo sfera avrá raggio R e sará distante A dall'apice dell'ellittica.

Dato r e Q ( con r solitamente tra 6 e 8.50 e Q \(\displaystyle \in \) ]-1,0]), l'ellittica é rappresentata dalla formula:

\(\displaystyle C(r, Q) = \frac{ r - \sqrt{ r^{2} - (Q + 1)\rho^{2} } }{Q + 1} \)


La sfera da:

\(\displaystyle S(R, A) = A + R - \sqrt{ R^{2} - \rho^{2} } \)

Secondo questo testo, da cui ho preso anche le formule sopra (https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4142625/) il problema si risolve cercando i valori di A e R che minimizzano il seguente integrale:

\(\displaystyle e(A, R) = \int_{0}^{1} \left ( \frac{ r - \sqrt{ r^{2} - (Q + 1)\rho^{2} } }{Q + 1} - A - R + \sqrt{ R^{2} - \rho^{2}} \right )^{2} \rho d \rho \)

Il mio problema é come implementare correttamente il calcolo di questo integrale, giá ho dei dubbi sull'intervallo in cui calcolarlo (da 0 a 1 ?)

Calcolando l'integrale da 0 a 1 (con intervalli di \(\displaystyle \rho \) di 0.01) provando tutti i possibili R e A con R \(\displaystyle \in \) [r, r+3] e A \(\displaystyle \in \) [0, 0.1], il raggio R che trovo sembra non coincidere con quello del testo e A rimane sempre 0.
Calcolando l'integrale da 0 a R (cosa che non so se abbia senso matematicamente), ottengo un risultato ancora diverso.

Suggerimenti?

Grazie mille
Giulio

[apatriarca]

L'integrale lo puoi risolvere in molti modi diversi, ma l'intervallo di integrazione è necessariamente \( [0, 1]. \) Devi però poi usare un qualche metodo per trovare i valori di A e R che minimizzano l'integrale. Non è chiaro come tu stia cercando di procedere.