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Scrivi "quindi tutti i 7 punti devono trovarsi a distanze $1/8$ e $3/8$ da due lati": perché? Ad esempio, se fosse $S(ABP_1)=3/16$ al suo interno ne prenderei il baricentro: dista $1/8$ da AB ma la sua distanza da altri lati non è $3/8$. Anche peggio per triangoli aventi per vertici due o più punti P.
Le vostre osservazioni mi hanno fatto sorgere un'altra domanda, che è più facile ed a cui ho saputo rispondere; dalla sua riposta si deduce anche la risposta alla mia prima domanda (con un punto un po' dubbio). Lascio a voi il problema.
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La domanda è: "E' possibile evitare i triangoli degeneri?" e la risposta è no. Definisco bene il problema.
All'interno di un quadrato pongo 7 punti, in modo tale che il quadrato sia coperto senza sovrapposizioni da 16 triangoli; nel farlo uso il criterio indicato da axpgn nella risposta al problema originale. Dimostrare che è impossibile disporli in modo da rispettare entrambe le seguenti condizioni:
1) i 16 triangoli sono equivalenti;
2) considerando anche i vertici del quadrato, non ci sono tre o più punti allineati.
All'interno di un quadrato pongo 7 punti, in modo tale che il quadrato sia coperto senza sovrapposizioni da 16 triangoli; nel farlo uso il criterio indicato da axpgn nella risposta al problema originale. Dimostrare che è impossibile disporli in modo da rispettare entrambe le seguenti condizioni:
1) i 16 triangoli sono equivalenti;
2) considerando anche i vertici del quadrato, non ci sono tre o più punti allineati.