Serie complessa

[Covenant]

Ciao a tutti,
ho la seguente serie in campo complesso:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n} $$
Il raggio di convergenza dovrebbe essere $R=1$. Come posso trovare esempi di punti sulla frontiera ($z$ tali per cui $\abs(z)=1$) dove la serie converge puntualmente?

[otta96]

Prova $-1$.
EDIT: Avevo letto male dal cellulare, in realtà $-1$ non funziona e non funziona nemmeno nessun complesso del tipo $e^(i*pi*q)$ con $q\inQQ$ perché definitivamente uno avrebbe la serie armonica.
Quindi va cercato un controesempio tra quelli che hanno un argomento irrazionale.

[Covenant]

Prova $-1$.
EDIT: Avevo letto male dal cellulare, in realtà $-1$ non funziona e non funziona nemmeno nessun complesso del tipo $e^(pi*q)$ con $q\inQQ$ perché definitivamente uno avrebbe la serie armonica.
Quindi va cercato un controesempio tra quelli che hanno un argomento irrazionale.

Infatti. Stavo pensando a $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac i2$ ma non so bene come procedere per dimostrare la convergenza.

[otta96]

Infatti. Stavo pensando a $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac i2$ ma non so bene come procedere per dimostrare la convergenza.

Ma $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac i2$ non può funzionare, perché è $e^(i*pi/6)$.

[Covenant]

Infatti. Stavo pensando a $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac i2$ ma non so bene come procedere per dimostrare la convergenza.

Ma $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac i2$ non può funzionare, perché è $e^(i*pi/6)$.

Giusto, diventa comunque l'armonica definitivamente. Non so davvero come procedere allora.

[gugo82]

Ad occhio direi che la serie non converge in alcun punto con argomento in rapporto razionale con $pi$, cioè in alcun punto del tipo \(\mathbf{e}^{\mathbf{i}\ p/q\pi}\) con $p/q in QQ$.

Pertanto proverei con qualcosa del tipo \(\mathbf{e}^{\mathbf{i}}\) o cose così.


P.S.: Funzioni a spazio lacunare... Purtroppo.

[Covenant]

Prendiamo $z=e^(i \theta \pi)$ con $\theta$ irrazionale. Ottengo:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{i\theta \pi n!}}{n}= \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(\theta \pi n!)}{n}+i \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(\theta \pi n!)}{n} $$
Ma non so come approcciare quelle serie. Se ad esempio prendo $\theta = \frac{1}{\pi}$ il tutto si riduce a stabilire la convergenza di $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n!)}{n} \quad \quad \quad \text{e} \quad \quad \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n!)}{n}$$.

[otta96]

Prova con $\theta=e$.

[Covenant]

Prova con $\theta=e$.

Buona idea! Si dimostra abbastanza facilmente che $$\lim_{n} n \sin(2 \pi e n!)= 2 \pi $$ quindi $ \sin(2 \pi e n!)$ è infinitesima di ordine 1 per $n \to oo$, il che basta ad assicurare la convergenza della prima serie (il cui termine generale sarà infinitesimo di ordine 2). Come sbrigo la serie con il coseno?

[Covenant]

Qualche idea per stabilire il carattere di $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2 \pi e n!)}{n}$$
A occhio mi sembra divergere per un ragionamento analogo a quello usato per provare il limite del seno del post sopra...