Sia I intervallo di R, f: I-->R, $x_0$ appartenente all'interno di I, f derivabile due volte in $x_0$
Allora, se la derivata seconda di f in $x_0$ è maggiore di zero (rispettivamente minore di zero), f è convessa (risp. f è concava)
DIMOSTRAZIONE:
Consideriamo $ F(x)= f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0) $ $ AA x in I $
Calcoliamo $ F' (x)=f(x)-f(x_0) $ (PERCHE'?ho problemi con le derivate, sì) $ rArr F'(x_0)=o $ (perché?)
Allora $ F''(x)=f''(x_0)>o $
Allora f ha in $x_0$ un punto di minimo relativo proprio, cioè: $ EE V $ appartenente alla famiglia degli intorni di $x_0$ tale che per ogni x appartenente all'intersezione tra V e l'intervallo in questione, escluso $x_0$, risulta: $ F(x_0)< F(x) $
e risulta (PERCHE?) $f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)>0$