No, anto.
Innanzitutto, quello che hai scritto non mi pare un wronskiano; poi, la dipendenza lineare di due funzioni va intesa come dipendenza lineare in $C(I)$ è lo stesso vale per l’indipendenza, cioè:
Siano $f_1,\ldots ,f_n in C(I)$.
Le funzioni $f_1,\ldots ,f_n$ sono linearmente dipendenti se e solo se esiste una $n$-upla di scalari $(alpha_1 ,\ldots , alpha_n) != (0,\ldots ,0)$ tale che $alpha_1 f_1+\cdots + alpha_n f_n$ coincide con la funzione identicamente nulla in $I$, cioè tale che:
\[
\forall x\in I,\quad \alpha_1 f_1(x) + \cdots + \alpha_n f_n(x) = 0\;.
\]
Analogamente, le $f_1, \ldots , f_n$ si dicono linearmente indipendenti se l’unica loro combinazione lineare che uguaglia identicamente la funzione nulla è quella coi coefficienti tutti nulli, cioè se l’esistenza di una $n$-upla di scalari $(alpha_1, \ldots , alpha_n)$ tale che:
\[
\forall x\in I,\quad \alpha_1 f_1(x) + \cdots + \alpha_n f_n(x) = 0\;.
\]
implica $(alpha_1, \ldots , alpha_n)=(0,\ldots ,0)$.
Scrivo un po’ la dimostrazione che avevo in mente.
La arrangio per EDO del secondo ordine a coefficienti costanti, ma va da sé che la cosa può essere generalizzata anche al caso di coefficienti continui e di ordini maggiori.
Consideriamo una EDO \(y^{\prime \prime}(x) + b y^\prime (x) + c y(x) = 0\) e scegliamone due soluzioni $y_1$ ed $y_2$ non identicamente nulle.
Il wronskiano di tali funzioni è:
\[
W(x) := \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\
y_1^\prime (x) &y_2^\prime (x)\end{vmatrix}\;,
\]
e, visto che la derivata di un determinante si calcola derivando l’ultima riga (dimostralo!) si ha:
\[
W^\prime (x) = \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\
-b y_1^\prime (x) - c y_1(x) & -b y_2^\prime (x) -c y_2(x) \end{vmatrix} = -b \begin{vmatrix} y_1(x) & y_2(x) \\
y_1^\prime (x) &y_2^\prime (x)\end{vmatrix} = -b W(x)
\]
cosicché $W$ è una soluzione della EDO del primo ordine \(W^\prime (x) = -b W(x)\).
Quanto appena visto, unito al fatto che le soluzioni di \(u^\prime = -b u(x)\) sono identicamente nulle solo se a tale EDO è accoppiata l’anno condizione nulla in un punto $x_0 in RR$, ci serve ad affermare che:
Il wronskiano di due soluzioni di una EDO lineare del secondo ordine o è identicamente nullo o è ovunque diverso da zero.
Questo per quanto riguarda le proprietà generali del wronskiano.
Veniamo all’indipendenza/dipendenza delle soluzioni.
Se $y_1$ ed $y_2$ sono linearmente dipendenti, tali sono le loro derivate (come hai giustamente osservato); da ciò segue che se le due funzioni sono dipendenti, allora il loro wronskiano è identicamente nullo.
Viceversa, supponiamo che il
wronskiano si annulli in un punto $xi in RR$ (cosicché esso è nullo ovunque, per quanto visto sopra). In tale ipotesi, il sistema lineare omogeneo che ha come matrice associata quella wronskiana calcolata in $xi$ ha una soluzione non banale, ossia esiste una coppia $(alpha_1 , alpha_2) != (0,0)$ tale che:
\[
\begin{cases}
y_1(\xi) \alpha_1 + y_2(\xi) \alpha_2 = 0 \\
y_1^\prime (\xi) \alpha_1 + y_2^\prime (\xi) \alpha_2 = 0
\end{cases}\; .
\]
La funzione $alpha_1 y_1+alpha_2 y_2$ è, per linearità, una soluzione della EDO e soddisfa il PdC con le condizioni nulle in $xi$; dato che anche la funzione identicamente nulla soddisfa il PdC con le medesime condizioni e visto che per le EDO lineari c’è unicità della soluzione in grande, è evidente che $alpha_1 y_1+ alpha_2 y_2$ coincide con la funzione identicamente nulla, ossia che $y_1$ ed $y_2$ sono linearmente dipendenti.
Reciprocamente, se $y_1$ ed $y_2$ sono linearmente indipendenti il loro wronskiano ha da essere diverso da zero ovunque, poiché altrimenti le due soluzioni sarebbero dipendenti. Ed infine, se il wronskiano è diverso da zero in un punto $xi$ implica l’indipendenza lineare di $y_1$ ed $y_2$, poiché se così non fosse, il wronskiano dovrebbe essere identicamente nullo.
Dunque abbiamo mostrato che:
Siano $y_1,y_2 in C^1(I)$ soluzioni della medesima EDO lineare del secondo ordine.
Si ha:
- $y_1$ ed $y_2$ sono linearmente dipendenti se e solo se esiste un punto $xi in I$ in cui il loro wronskiano si annulla; in tale caso il wronskiano è identicamente nullo in $I$;
- $y_1$ ed $y_2$ sono linearmente indipendenti se e solo se non esiste alcun punto $xi in I$ in cui il loro wronskiano si annulla; in tale caso il wronskiano è identicamente diverso da zero in $I$.
Ora, mostriamo che lo spazio delle soluzioni di una EDO lineare del secondo ordine è un sottospazio di $C^1(I)$ di dimensione $2$. Per fare ciò, proviamo che esistono almeno due soluzioni $y_1$ ed $y_2$ linearmente indipendenti e che ogni soluzione $y$ della EDO si può scrivere come combinazione lineare di $y_1$ ed $y_2$.
Per mostrare che esistono $y_1$ ed $y_2$ indipendenti basta osservare che, fissato $xi in I$ e scelti i vettori $(1,0)$ ed $(0,1)$ come condizioni iniziali, il teorema di esistenza ed unicità garantisce che i PdC:
\[
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x) + b y^\prime (x) + c y(x) = 0\\
y(\xi ) = 1\\
y^\prime(\xi ) = 0
\end{cases} \quad \text{ed} \quad \begin{cases}
y^{\prime \prime} (x) + b y^\prime (x) + c y(x) = 0\\
y(\xi ) = 0 \\
y^\prime(\xi ) = 1
\end{cases}
\]
hanno unica soluzione globale; dette $y_1$ ed $y_2$ le soluzioni di tali PdC, esse sono indipendenti, poiché il loro wronskiano in $xi$ vale $1 != 0$.
D’altra parte, sia $y$ una qualsiasi soluzione della EDO e mostriamo che esistono due costanti $alpha_1, alpha_2$ tali che $y= alpha_1 y_1 + alpha_2 y_2$. Fissiamo un punto $xi in I$ e poniamo $ y^0:= y(xi)$ e $y^1 := y^\prime (xi)$; la funzione $bar(y)(x) := y^0 y_1(x) + y^1 y_2(x)$ soddisfa il PdC relativo alla EDO in questione con condizioni iniziali $bar(y)(xi) = y^0$ e $bar(y) (xi) =y^1$, che è risolto anche da $y$; visto che siamo in regime di unicità globale si ha $y(x) = bar(y)(x) = y^0y_1(x) + y^1 y_2(x)$, cosicché $alpha_1 = y^0$ ed $alpha_2 = y^1$ sono i due coefficienti che servono per esprimere $y$ come combinazione lineare delle due soluzioni $y_1$ ed $y_2$.
Riassumendo:
Per ogni EDO lineare del secondo ordine omogenea esistono almeno due soluzioni linearmente indipendenti e tutte le altre soluzioni si possono esprimere come combinazioni lineari di tali due soluzioni indipendenti.
Quindi lo spazio delle soluzioni di un’equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine è un sottospazio vettoriale di $C^1(I)$ di dimensione $2$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)