da pilloeffe » 18/05/2018, 04:05
Ciao keziah,
Benvenuto/a sul forum!
Farei così:
$ 2z^2 = x^2 + y^2 \implies z = f(x, y) = frac{sqrt{2}}{2}sqrt{x^2 + y^2} $
Dato che $z = frac{h}{R} sqrt{x^2 + y^2} $ e sappiamo che $h = 4 $ ne consegue che $4/R = frac{sqrt{2}}{2} \implies R = 4 sqrt{2} \implies m := h/R = 1/tan\alpha = frac{sqrt{2}}{2} $ ove $\alpha $ è il semiangolo dell'angolo al vertice del cono nell'origine degli assi cartesiani.
Tutto ciò premesso, si ha:
$ S_{lat} = int int_D ds = int int_D sqrt{1 + ((del f)/(del x))^2 + ((del f)/(del y))^2} dx dy = int int_D sqrt{1 + frac{m^2 x^2}{x^2 + y^2} + frac{m^2 y^2}{x^2 + y^2}} dx dy = $
$ = int int_D sqrt{1 + m^2} dx dy = sqrt{1 + m^2} int int_D dx dy = sqrt{1 + m^2} int_0^R int_0^{2\pi} \rho d\rho d\theta = \pi R^2 sqrt{1 + m^2} = frac{\pi R^2}{sin\alpha} $
Introducendo i valori $R = 4 sqrt{2} $ e $m = frac{sqrt{2}}{2} \implies m^2 = 1/2 $ del caso specifico si ottiene:
$ S_{lat} = \pi \cdot 32 \cdot sqrt{1 + 1/2} = \pi \cdot 32 \cdot sqrt{3/2} = 16 \pi sqrt{6} $