Matrici di rotazioni

[Cantor99]

Salve domani dovrò sostenere l'esame di algebra lineare (matematica) e mi sono balenati dei dubbi: per ora mi sono concentrato su questo.

Nella riduzione in forma canonica di una conica $ax^2+by^2+cxy+dx+et+f=0$ procedo così: diagonalizzando ortogonalmente la matrice $((a,\frac{c}{2}),(\frac{c}{2},b))$ e ne determino la matrice diagonale $D$ congruente e la matrice di passaggio $P$ ortogonale.
Dopodiché diventa in una forma senza $xy$ e procedo a traslarla nell'origine.

Ora questa matrice di passaggio $P$ la riscrivo sempre in modo che abbia determinante $1$ e che abbia la forma $((cos(\theta),-sin(\theta)),(sin(\theta),cos(\theta)))$. Questo che faccio è giusto o superfluo? Inoltre, ogni matrice ortogonale speciale si può vedere come una matrice di rotazione?

Grazie

[sgabryx]

Guarda a breve avrò anche io un esame di algebra lineare e geometria e, dalla mia esperienza per quanto riguarda gli esercizi, credo che quel passaggio sia superfluo, in particolare la forma. Non ho mai studiato un esercizio la cui risoluzione portasse alla scrittura di quel tipo di matrice (se può interessare ho svolto gli esercizi del Claretta Carrara condiviso in pdf dall'autrice stessa su internet, oltre quelli di vari professori del mio ateneo).
Mi sono sempre fermata alla definizione di D e P difatti, come dici anche tu, sparisce il termine xy e già questo dovrebbe indicarti il tuo buon lavoro.

[Cantor99]

Sono andato a vedere questo PDF, tra l'altro molto completo. A fine pagina 340 dice che la mia matrice $P$ deve essere fatta da autovettori e "fatta in modo che il determinante sia 1". Questo perché vuole evidenziare l'angolo di rotazione o comunque superfluo?
Dimmi un po' come hai inteso questa frase

[sgabryx]

l'ho intesa sia come una sorta di "prova" dei tuoi calcoli, ovvero se il determinante viene 1 stai andando nella direzione giusta, sia come una guida su come porre i tuoi autovettori e i rispettivi segni in quanto comunque il mio primo autovettore potrebbe essere il tuo secondo autovettore e si cambierebbero quindi i segni.
infatti io ho usato in uno di questi esercizi questa condizione proprio per questo, per posizionare in maniera corretta gli autovettori.

ovviamente io ti parlo della mia esperienza, capace anche che abbia un significato diverso la cosa che a me sfugge.

[Magma]

La matrice di rotazione si ottiene disponendo per colonna gli autovettori normalizzati.

[Cantor99]

Grazie mille ad entrambi

[Bokonon]

Inoltre, ogni matrice ortogonale speciale si può vedere come una matrice di rotazione?

Aggiungo solo una nota a piè di pagina, riguardo il significato geometrico di un paio di matrici.
Tutte le matrici ortogonali sono trasformazioni che provocano una rotazione e/o una riflessione.
E aggiungo anche che tutte le matrici simmetriche riscalano i vettori ma solo in un riferimento ortonormale (ortoscalari).
Infine, una delle decomposizioni polari (stranamente meno nota) dimostra che qualsiasi matrice quadrata non singolare può essere decomposta in A=QS, ovvero una matrice ortogonale Q una matrice simmetrica S!
Inoltre la decomposizione è unica (e volendo si può estendere anche a matrici rettangolari ma prima ridefinendo/ampliando il concetto di matrice ortogonale).
Se ci si pensa è un risultato geometrico pazzesco. Significa che qualsiasi trasformazione da $ R^n $ in $ R^n $ (e ovviamente anche in spazi complessi) è semplicemente un "riscalare" e ruotare.

[Cantor99]

@Bokonon grazie per la risposta e scusami se rispondo solo ora. Non ho ben capito che intendi con "le matrici simmetriche riscalano i vettori" e soprattutto col termine "riscalare"

[Bokonon]

@Bokonon grazie per la risposta e scusami se rispondo solo ora. Non ho ben capito che intendi con "le matrici simmetriche riscalano i vettori" e soprattutto col termine "riscalare"

Vengono accorciati/allungati, tutto qua.
Insomma, dopo "mille" teoremi, con quella decomposizione/teorema si giunge a scoprire l'acqua calda.
Ovvero che tutte le trasformazioni lineari non fanno altro che prendere un mucchietto di vettori, riscalarli e poi ruotarli/rifletterli attorno all'unico punto invariante, ovvero l'origine.
Se non hai mai visto i video di 3blue1brown allora goditi questo a partire dal minuto 2:38
https://youtu.be/kYB8IZa5AuE?t=2m38s

Come è andato l'esame?

[Cantor99]

Non so perché ma per quanto riguarda gli omomorfismi (e non solo) si incontrano spesso enunciati del tipo "tutti e soli gli omorfismi che hanno questa proprietà sono del tipo tot": per esempio, restando in algebra lineare, si sa che tutti gli isomorfismi tra $V_n(K)$ finitamente generato e $K^n$ sono isomorfismi coordinati in un particolare riferimento. Oppure in algebra - se ricordo bene- tutti gli endomorfismi di un gruppo ciclico $G$ sono del tipo $f: g ->g^n$ con un opportuno intero $n$.

Comunque conosco 3blue1brown e so già che il video sarà bellissimo, lo vedrò senz'altro.

Comunque l'esame è andato benissimo, grazie per l'interessamento