Urto anelastico tra piattello e proiettile

Messaggioda feddy » 12/06/2018, 22:46

Durante una gara di tiro, come in figura, un piattello di massa M = 0.2 kg viene sparato da terra con un alzo di 30° e con una velocità $V_0 = 40 \frac{m}{s}$. Nell’istante in cui esso raggiunge la massima altezza viene centrato da un proiettile di massa m = 10 g che sta viaggiando in direzione verticale verso l’alto con velocità istantanea v = 200 m/s. Il proiettile si conficca nel piattello. Supponendo trascurabili gli effetti dell’attrito con l’aria, calcolare:
a)
l’altezza, rispetto al suolo, del piattello al momento dell’urto;
b)
la velocità di bocca $v_0$ del proiettile al momento dello sparo da terra;
c)
la velocità del sistema (piattello + proiettile) immediatamente dopo l’urto;
d)
l’energia meccanica dissipata dalle forze d’attrito durante l’urto;
e)
l’altezza massima raggiunta dal sistema nel moto successivo all’urto;
f)
la distanza, rispetto al punto di lancio del piattello, alla quale il sistema tocca terra;
g)
la velocità vettoriale di impatto del sistema con il suolo.



Immagine

Svolgimento

a) L'altezza al momento dell'urto, stando ai dati del testo, è l'altezza massima raggiunga dal piattello, perciò è sufficiente ricavare l'altezza massima del suo moto, che si ricava facilmente essere
$[H_{\text{max}}= \frac{V_{0}^{2} \sin(\alpha)}{2g}]$
ed è raggiunta per $\bar{t}=\frac{V_{0} \sin(\alpha)}{g}$.

b) Innanzitutto la legge del proiettile è $y(t)=v_{0} t - \frac{1}{2} g t^2$. (ora $v_{0}$ è la velocità di bocca del proiettile ed è l'incognita).

Poiché il proiettile viene colpito a $\bar{t}$, deve essere che
$[y(\bar{t})=H_{\text{max}}]$
.

Si ricava quindi che $[\vec{v_{0}}= V_{0} \sin(\alpha) \mathbf{j}]$

c) assumendo l'urto centrale vale la conservazione della quantità di moto del sistema. Inoltre, essendo perfettamente anelastico (il proiettile si conficca nel piattello) vale
$(M+m) \vec{v_{CM}} = 0 \mathbf{j} + M V_{0} \cos(\alpha) \mathbf{i}$


Da cui:
$[v_{CM,x}= frac{M}{M+m} V_{0} \cos(\alpha)]$
$[v_{CM,y}= 0$


d) L'energia dissipata durante l'urto è data da $E_{diss}= E_{k,d} - E_{k,p}=\frac{1}{2} (M+m) v_{CM}^2 - \frac{1}{2}M (V_0 \cos(\alpha))^2 $ (E' corretto non considerare l'emergia cinetica del proiettile, dal momento che appena prima dell'urto il proiettile è fermo?)

e) Qui si usa la conservazione dell'energia tra l'istante in cui raggiunge la massima altezza, dove l'energia meccanica finale è data dalla sola $(M+m) g H_{max,2}$, e l'istante in cui il corpo parte con velocità $v_{CM}$, appena dopo l'urto, ad un'altezza ricavata nel punto a), che vale $H_{max,1}$

$[(M+m) g H_{\text{max,2}} = \frac{1}{2}(M+m) v_{CM}^{2} +(M+m) g H_{max,1}]$
e si ricava $H_{\text{max},2}$.


Sperando di non aver commesso errori fino a qui, ora ho un dubbio
f) Qui userei ancora la conservazione dell'energia tra il punto in cui tocca terra, con velocità pari a velocità d'impatto $v_{imp}$ e a energia potenziale nulla, e il punto in cui il sistema proiettile + piattello è appena partito.

$[(M+m) g H_{\text{max,1}} + \frac{1}{2} (M+m) v_{CM}^{2} = \frac{1}{2} (M+m) v_{\text{impatto}}^{2}]$


Da qui posso ricavare il modulo della velocità d'impatto.

Tuttavia la richiesta del problema era quella di trovare la distanza dal punto di lancio. La mia idea era quella di notare che il piattello+proiettile compie un moto parabolico, e studiare quel moto al solito modo.

E' la strada migliore/corretta?

Aldilà dei valori numerici, quel che mi preme è di essere certo della correttezza dei procedimenti :)
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Re: Urto anelastico tra piattello e proiettile

Messaggioda dRic » 13/06/2018, 00:00

Non sono preparato come altri utenti nel forum, però secondo me nel punto b, quando ti dice dello "sparo da terra", intende del piattello e non del proiettile perché secondo i tuoi calcoli (se $v_0 = V_0sin(\alpha)$) allora la velocità del proiettile nel momento dell'impatto sarebbe $0$, ma il testo ti dice che il proiettile al momento dell'urto si sta muovendo a $v=200m/s$ (velocità istantanea).
Per questo io userei la condizione data dal testo.

Poi anche nel punto c non capisco perché dici che il piattello + giavellotto (post urto) ha componente di velocità solo lungo x, quando il proiettile prima dell'urto ha velocità lungo y non nulla (200m/s).

Magari ho capito male il testo io.
Ultima modifica di dRic il 13/06/2018, 01:16, modificato 1 volta in totale.
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Re: Urto anelastico tra piattello e proiettile

Messaggioda feddy » 13/06/2018, 01:03

Hai perfettamente ragione. Ho letto male il testo.
Non credo però che chieda la velocità di lancio del piattello, visto che la da il testo. Credo chieda proprio la velocità iniziale con cui è stato sparato il proiettile, e si trova mediante conservazione dell'energia ponendo $mgH + \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$.
Grazie della correzione, domani sistemo tutto :)
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Re: Urto anelastico tra piattello e proiettile

Messaggioda dRic » 13/06/2018, 01:15

Si, mi sono espresso male, scusa.
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Re: Urto anelastico tra piattello e proiettile

Messaggioda Vulplasir » 13/06/2018, 01:43

Riguardo alla distanza dal lancio usa la conservazione della qdm
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Re: Urto anelastico tra piattello e proiettile

Messaggioda feddy » 13/06/2018, 14:18

@dRic figurati, anzi grazie a te !:)

@Vulplasir correggimi se sbaglio, la conservazione della qdm durante l'urto porge la velocità del centro di massa $\vec{v_{CM}}$. Per ricavarmi la distanza quindi mi basta studiare un moto parabolico con velocità iniziale data da $\vec{v_{CM}}$ e da altezza $H_{max,1}$. Dove si ha che $\vec{v_{CM}$ avrà un certo angolo di alzo dato da $\arctan (\frac{v_{CM,y}}{v_{CM,x}})$,
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Re: Urto anelastico tra piattello e proiettile

Messaggioda Vulplasir » 14/06/2018, 12:39

No non c'entra niente la conservazione della qdm. Intendevo dire che puoi arrivare a una conclusione più furba analizzando cosa dice la prima equazione cardinale $F^(ext)=m_(t ot)veca_(G)$...in questo caso hai un sistema composto da due masse e l'unica forza agente è quella esterna, quella equazione cosa ti dice?
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Re: Urto anelastico tra piattello e proiettile

Messaggioda feddy » 14/06/2018, 13:06

In questo caso mi dice che per studiare il moto del sistema basta studiare il moto di una particella che ha massa data dalla somma della masse localizzata nel centro di massa e si muove sotto l'azione della sola forza peso...ma non capisco quale sia il prossimo passaggio
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Re: Urto anelastico tra piattello e proiettile

Messaggioda Vulplasir » 14/06/2018, 13:12

Dopo l'urto i due corpi si spostano insieme e coincidono con il centro di massa del sistema, quindi la posizione di caduta dei due corpi non è altro che la media ponderata delle posizioni di caduta dei due corpi se non si urtassero, la massa che viaggiava verticalmete cade nello stesso punto da dove era partita, l'altra massa cade a distanza doppia da dove impatta la massa verticale, la loro distanza di caduta sarà quindi $D=(d_1m_1+d_2m_2)/(m_1+m_2)$
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Re: Urto anelastico tra piattello e proiettile

Messaggioda feddy » 14/06/2018, 14:17

E' vero, ti ringrazio perché credo che da solo non ci sarei mai arrivato.
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