Ciao cri98,
Si tratta di un classico problema di minimo "evergreen"...
La superficie di base del bicchiere (cilindro) è $ S_b = \pi r^2 $, mentre la superficie laterale è $S_l = 2\pi r h $
Dato che $ V = \pi r^2 h \implies S_l = frac{2V}{r} $
In definitiva la superficie totale da minimizzare è la seguente:
$S(r) = S_b + S_l = \pi r^2 + frac{2V}{r} $
Quindi si ha:
$S'(r) = 2\pi r - frac{2V}{r^2} = 2 \cdot frac{\pi r^3 - V}{r^2} $
Per studiare il segno della derivata prima $S'(r) > 0 $, essendo il denominatore sempre positivo, basta studiare il segno del numeratore e non è difficile scoprire che la funzione superficie totale $S(r) $ presenta un minimo per $r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $
Per $r = r_min $ poi si trova $ h_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} = r_min $
Concludendo si può dire che fra tutti i bicchieri aventi lo stesso volume $V$, quello che ha la superficie minima è quello con altezza uguale al raggio: $ h_min = r_min = \root[3]{\frac{V}{\pi}} $