Dopo una spiegazione dell'ottimo utente del forum mi accorgo che non so usare sempre bene le stime asintotiche in particolare il mio dubbio verte sul punto che non capisco quando semplificare o meno una forma, vi porto degli esempi svolti dall'eserciziario sperando un una mano sul capire come usare
1) $arctan(x)/sqrt(1+x^3)~pi/(2x^(3/2))$ per $x->∞$
cioè qui ho proprio sostituito il risultato del limite di arctan all'infinito che fa pi/2
mentre
2) $arctan(1/x) $ \( \displaystyle \sim \) $ 1/x $ per $x->∞$
non posso sostituire zero ($ 1/x $ per $x->∞$ sarebbe 0) che se no inficia il risultato (come mi è stato spiegato nel thread)
Mi sembra che in alcuni casi si usi in un modo e in altri no.
Non capisco perché da una parte debba sostituire la stima asintotica della funzione e dall'altra posso sostituirci il pi/2 numerico
3) $1/x*(1+(cosx)/x)/(1+(sinx)/x)~1/x$ per $x->+∞$
e anche in questo terzo esempio "semplifica" (cosx)/x mandandolo a zero (come svolgesse il limite), però non svolge 1/x che darebbe 1/∞ e quindi zero. Perché 1/x si tiene e cosx/x no? Perché questo diverso trattamento?
Non riesco a capire quando posso semplificare e quando no nelle stime asintotiche di esempio.Mi sembra si comporti sempre diversamente e non carpisco la logica