Problema con molla e due masse

[Sabb]

Vi propongo un problema che mi sta causando non pochi problemi..

Due masse $m_1$ e $m_2$ sono attaccate agli estremi di una molla di lunghezza a riposo $L_0$ e di massa trascurabile. La molla viene compressa di $\Deltal$ e la massa $m_1$ viene appoggiata ad una parete verticale fissa su un piano orizzontale liscio, quindi, all'istante $t=0$, il sistema viene lasciato libero da fermo.

1) Dopo quanto tempo la massa $m_1$ lascia la parete verticale?
Calcolare:
2) La velocità del centro di massa del sistema in quell'istante
3) L'accelerazione del centro di massa durante il moto
4) La reazione vincolare della parete verticale su $m_1$ in funzione del tempo
5) La frequenza di oscillazione delle due masse durante il moto libero

($m_1=m_2:=m=5kg$, $L_0=30cm$, $\Deltal=20cm$, $k=2500\frac{N}{m}$)




Finché $m_1$ rimane attaccata alla parete la sua equazione di moto è $N-F_e=0$, dove $N$ è la reazione esercitata della parete, mentre l'equazione di moto di $m_2$ è $F_e=ma$ (penso quindi ad un moto di tipo armonico).
Quando la molla ha lunghezza uguale alla sua lunghezza a riposo la forza elastica è nulla (poiché è nulla la compressione/dilatazione della molla), in questo momento, che chiamo $t_1$, tutta l'energia potenziale di $m_2$ si è trasformata in energia cinetica, la velocità è quindi massima e per la conservazione dell'energia: $\frac{1}{2}mv^2(t_1)=\frac{1}{2}k(\Deltal)^2$, da cui $v(t_1)=\Deltal\sqrt{\frac{k}{m}}$.

A questo punto però non so come procedere, stavo pensando a questo: nel sistema in questo momento le forze elastiche sono nulle perché la molla non è né compressa né dilatata, la massa $m_1$ non ha ancora iniziato a muoversi, inoltre la forza $N$ è nulla perché è nulla $F_e$, quindi $m_1$ è istantaneamente in stato di quiete (?). La massa $m_2$ si sta muovendo con velocità $v$ verso destra, ma in questo istante su di essa non agiscono forze, come su $m_1$. Nell'istante immediatamente successivo la molla inizia a dilatarsi, quindi l'energia cinetica di $m_2$ si trasforma in energia potenziale e $m_2$ inizia a subire la forza di richiamo elastica verso sinistra, perciò inizia a decelerare fino al punto in cui invertirà il proprio moto, giusto? Su $m_1$ agisce a questo punto solo la forza elastica verso destra e la sua velocità iniziale è nulla, penserei quindi che è questo il momento nel quale $m_1$ si stacca dalla parete, poiché l'unica forza applicata è $F_e$ diretta verso destra.

Ma come studio a questo punto il moto delle due masse e del sistema totale? E soprattutto, ho pensato a cose sensate o sto proprio fraintendendo il problema? Grazie a tutti

[Sabb]

Provo a dare una soluzione seguendo alcuni esercizi svolti dai professori, se qualcuno può dirmi se faccio errori o darmi qualche consiglio mi sarebbe davvero utile perché non ho idea di cosa possa essere o non essere giusto..


Il moto avviene interamente lungo l'asse $x$, considero come origine la posizione di $m_2$ al tempo $t=0$: $x_2(0) = 0$ e chiamo $x_{eq}$ il punto attorno al quale $m_2$ oscillerebbe se $m_1$ non fosse libera.

1) L'equazione di moto per $m_2$ è $m_2a_2 = F_e = k\Deltax_2$, da cui $a_2= \frac{k}{m_2}(x_2(t)-x_2(0)) = \frac{k}{m_2}x_2(t)$; questa è l'equazione che descrive un moto armonico attorno al punto $x_{eq}$ e la soluzione è $x_2(t)=Acos(\omegat+\phi) + x_{eq}$, dove $A=x_{eq}$ (poiché $x_{eq}$ è proprio la distanza percorsa da $m_2$ prima che il verso di $F_e$ si inverta) e $\omega^2=\frac{k}{m_2}$. Impostando le condizioni iniziali si trova il valore di $\phi$, al tempo $t=0$: $x_2(0)=0=x_{eq}(cos(\omega*0+\phi)+1)=x_{eq}(cos(\phi)+1)$, questo vale per $cos(\phi)=-1$, cioè $\phi=\pi$, da cui $x_2(t)=x_{eq}(1-cos(\omegat))$.

Considero il momento $t=t_s$ al quale $x_2(t_s)=x_{eq}$, in questo momento la molla ha lunghezza $L_0$ (è nella posizione di riposo), quindi tutta l'energia potenziale elastica di $m_2$ si è trasformata in energia cinetica, la forza elastica su entrambe le masse è in questo momento nulla, $m_1$ è istantaneamente in stato di quiete e $m_2$ si muove verso destra con velocità $v_2(t_s)=v_{max}$.
Nell'istante immediatamente successivo $t=t_s+dt$ la molla si dilata, quindi su entrambe le masse agisce una forza $F_e$ diretta verso "l'interno" della molla, l'equazione di moto per $m_1$ è $m_1a_1= F_e$, quindi $m_1$ in questo momento non è più in stato di quiete, ma si muove verso destra staccandosi dalla parete. Il momento richiesto è quindi $t_s$ (poichè se ho ragionato nel modo giusto quel $dt$ è infinitesimo), che possiamo ricavare da $x_2(t_s)=x_{eq}$, infatti $x_2(t_s) = x_{eq} = x_{eq}(1-cos(\omegat_s))$, cioè $x_{eq}cos(\omegat_s)=0$, che vale per $\omegat_s=\frac{\pi}{2}$, da cui $t_s= \frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{m_2}{k}}$, questo dovrebbe essere il momento in cui $m_1$ si stacca dalla parete.

2) La velocità del centro di massa nell'istante $t=t_s$ è $v_{cm}(t_s) = \frac{m_1v_1(t_s)+m_2v_2(t_s)}{m_1+m_2}$, dato che $m_1=m_2:=m$ allora $v_{cm}(t_s) = \frac{v_1(t_s)+v_2(t_s)}{2}$, inoltre in questo istante la velocità di $m_1$ è nulla, quindi $v_{cm}(t_s) = \frac{v_2(t_s)}{2}$. Per la conservazione dell'energia si ha $\frac{1}{2}k\(Deltal)^2=\frac{1}{2}mv_2^2(t_s)$, da cui $v_2(t_s)=\sqrt{\frac{k}{m}}\Deltal=\omega\Deltal$, quindi $v_{cm}=\frac{\omega}{2}\Deltal$.

3) L'accelerazione del centro di massa è definita come $a_{cm}=\frac{F_{e_1}+F_{e_2}}{m_1+m_2}$, dove $F_{e_1}$ e $F_{e_2}$ sono le forze elastiche esercitate rispettivamente su $m_1$ e $m_2$. Queste due forze sono uguali in modulo, ma hanno sempre verso opposto, quindi $F_{e_1}+F_{e_2} = F_e-F_e = 0 \Rightarrow a_{cm}=0$, ovvero il centro di massa del sistema si muove con velocità costante verso destra.

4) Appena $m_1$ si stacca dalla parete la reazione $N$ che essa esercita su $m_1$ è nulla, fino a quel momento $m_1$ non si muove, quindi $0=N-F_{e_1} \Rightarrow N(t)=F_{e_1}(t)$, ma sui moduli vale $F_{e_1}=F_{e_2}$, perciò:
$N(t)=F_{e_2}(t) = k\Deltax_2(t)= k(x_{eq}-x_{eq}(1-cos(\omegat))= k(x_{eq}-x_{eq}+x_{eq}cos(\omegat))=kx_{eq}cos(\omegat)$, questo finchè $m_1$ non si stacca dalla parete.
In definitiva: $N(t)=kx_{eq}cos(\omegat)$ per $0<=t<=t_s$ e $N(t)=0$ per $t>t_s$.
(se $t=0$ allora $N(0)=N_{max}=kx_{eq}$, mentre se $t=t_s$ allora $N(t_s)=0$)

5) Le due masse oscillano attorno al centro di massa del sistema che, essendo le masse uguali, si trova al centro della molla, possiamo quindi pensare al sistema come formato da due molle, ognuna attaccare ad una massa e fissate nel centro di massa che come abbiamo visto si muove con velocità costante. In questo questo modo la lunghezza a riposo di ognuna delle due molle è pari alla metà della lunghezza a riposo della molla iniziale, mentre la costante elastica delle due molle è doppia rispetto a quella della molla iniziale, cioè $l_0=\frac{L_0}{2}$ e $k' = 2k$, dove $l_0$ e $k'$ sono la lunghezza a riposo e la costante elastica delle due molle. Data la simmetria del sistema rispetto al centro di massa si ha che $\omega_1=\omega_2:=\omega'$ e possiamo studiare solo una delle due masse, l'equazione di moto di $m_2$ è quella di moto armonico:
$ma=F_e=-k'\Deltax' = -2k*\frac{\Deltax}{2} = -k\Deltax$, da cui $\omega'=\sqrt{\frac{k}{m}}=\omega$

[mgrau]

Onestamente, non ho letto tutto (è un po' troppo lungo per me).
Però, ragionando a occhio: quando $m_1$ si stacca dalla parete? Io direi, quando la molla smette di spingere e inizia a tirare, ossia quando ha raggiunto la sua lunghezza a riposo.
Quando raggiunge la lunghezza a riposo? Direi che, finchè la massa $m_1$ sta appiccicata alla parete, è come se non ci fosse, e il sistema è un normale caso di massa ($m_2$) e molla. Risulta il solito moto armonico, che ha un periodo $T = 2pisqrt(m_2/k)$. Il tempo che ci interessa, per cui si raggiunge il primo zero, è $T/4$

[Sabb]

quando $ m_1 $ si stacca dalla parete? Io direi, quando la molla smette di spingere e inizia a tirare, ossia quando ha raggiunto la sua lunghezza a riposo.
Quando raggiunge la lunghezza a riposo? Direi che, finchè la massa $ m_1 $ sta appiccicata alla parete, è come se non ci fosse, e il sistema è un normale caso di massa ($ m_2 $) e molla. Risulta il solito moto armonico, che ha un periodo $ T = 2pisqrt(m_2/k) $. Il tempo che ci interessa, per cui si raggiunge il primo zero, è $ T/4 $

Grazie della risposta.
Partendo dall'equazione di moto di $m_2$ ho appunto trovato che il tempo cercato è $\frac{pi}{2}\frac{1}{\omega}$, che è proprio $\frac{T}{4}$, quindi la considero una buona riprova

Onestamente, non ho letto tutto (è un po' troppo lungo per me).

Mi rendo conto.. Dovendo preparare l'esame mi devo abituare a giustificare ogni minima cosa che ipotizzo, anche se vengono dei poemi e anche se spesso si può risolvere tutto in modi molto più semplici. Melius est abundare quam deficere sarà sempre vero?

A parte gli scherzi, ti ringrazio di nuovo per la risposta, gli altri punti potrebbero andare bene?

[mgrau]

A me non piacciono troppo i calcoli, quindi ti propongo soluzioni "a naso"...
2) Velocità del CM al momento del distacco? Evidentemente, la metà della velocità di $m_2$. Qual è la velocità di $m_2$?
La sua energia cinetica è uguale all'energia elastica della molla all'inizio.
3) L'accelerazione del CM durante il moto? Non può essere sempre zero: all'inizio è fermo, poi no... E' zero dopo il distacco, prima no, e la sua accelerazione è la metà di quella di $m_2$ (e $m_2$ si muove di moto armonico, per cui...)
4) fino al distacco, direi che la reazione della parete è $m_2*a$
5) la frequenza di oscillazione delle due masse: si può immaginare che ce ne sia una sola, attaccata ad una molla, fissa all'altro estremo, con una lunghezza metà, quindi con k doppio

[Sabb]

A me non piacciono troppo i calcoli, quindi ti propongo soluzioni "a naso"...

Figurati, qualunque tipo di aiuto o proposta è sempre e comunque ben accetta!

2) Velocità del CM al momento del distacco? Evidentemente, la metà della velocità di $ m_2 $. Qual è la velocità di $ m_2 $?
La sua energia cinetica è uguale all'energia elastica della molla all'inizio.

Perfetto, questo mi torna!

3) L'accelerazione del CM durante il moto? Non può essere sempre zero: all'inizio è fermo, poi no... E' zero dopo il distacco, prima no, e la sua accelerazione è la metà di quella di $ m_2 $ (e $ m_2 $ si muove di moto armonico, per cui...)

Giusto, non ho proprio considerato il tempo prima del distacco di $m_1$.. In tal caso finché $m_1$ è ferma la risultante delle forze che agiscono su di essa è nulla, quindi $a_{cm}= \frac{F_e}{2m} = \frac{a_2}{2}$ (quindi $a_{cm}= x_{eq}\frac{\omega^2}{2}cos(\omegat)$), quando poi il moto è libero l'accelerazione del centro di massa è nulla.

4) fino al distacco, direi che la reazione della parete è $ m_2*a $

Anche questo mi torna, $m*a = m*x_{eq}\omega^2cos(\omegat)=m*x_{eq}\frac{k}{m}cos(\omegat) = kx_{eq}cos(\omegat)$ che è quanto ho trovato.

5) la frequenza di oscillazione delle due masse: si può immaginare che ce ne sia una sola, attaccata ad una molla, fissa all'altro estremo, con una lunghezza metà, quindi con k doppio

Ok, ho fatto in questo modo. A questo punto se la lunghezza a riposo della nuova molla $L_0'$ è la metà rispetto alla molla precedente, cioè $L_0'=\frac{L_0}{2}$ allora una compressione/dilatazione della nuova molla $\Deltax'$ è uguale a metà dell'allungamento nel vecchio sistema: $\Deltax'=\frac{\Deltax}{2}$ (possiamo infatti considerare che nel nuovo sistema l'estremità sinistra della molla è fissa mentre quella destra è libera, se io comprimo la parte destra della molla di $dx$, mi rendo conto che nel vecchio sistema avrei avuto tale compressione anche a sinistra, per una compressione totale di $2dx$), mentre come detto la nuova costante elastica è doppia rispetto alla vecchia: $k'=2k$.
La forza elastica nel nuovo sistema è $F_e=-k'*\Deltax' = -2k*\frac{\Deltax}{2} = -k*\Deltax$, ma questa è la forza elastica nel vecchio sistema, quindi la frequenza di oscillazione è uguale alla precedente, cioè $\omega'=\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$. Può essere corretto?

Grazie mille dell'aiuto e della disponibilità!

[mgrau]

quindi la frequenza di oscillazione è uguale alla precedente, cioè $\omega'=\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$.

Veramente io direi che $omega' = sqrt((2k)/m$...
Ora però devo uscire, ci riguarderò più tardi...

[Sabb]

Veramente io direi che $omega' = sqrt((2k)/m$...

Non saprei.. Se fossimo nel caso in cui una molla (con frequenza $\omega$) ha un'estremità attaccata ad una massa e l'altra vincolata, e quindi dimezzassimo la lunghezza della molla allora sarei d'accordo sul dire che la nuova frequenza è $\omega'=sqrt(2)\omega$, ma in questo caso la molla oscilla sia a destra che a sinistra simmetricamente, quindi il moto non cambia se mettiamo una "parete" nella posizione del centro di massa e vincoliamo le due molle con lunghezza dimezzata ad essa. In sostanza, la frequenza nelle due situazioni non dovrebbe essere la stessa se il moto è praticamente identico?

[mgrau]

ma in questo caso la molla oscilla sia a destra che a sinistra simmetricamente, quindi il moto non cambia se mettiamo una "parete" nella posizione del centro di massa e vincoliamo le due molle con lunghezza dimezzata ad essa. In sostanza, la frequenza nelle due situazioni non dovrebbe essere la stessa se il moto è praticamente identico?

Il tuo sistema opera in due regimi diversi:
il primo è quando una massa sta attaccata alla parete: quindi qui abbiamo una solamassa $m$, una molla di costante $k$, e $omega = sqrt(k/m)$
il secondo è quando le due masse sono libere. In questo caso (salvo il moto di traslazione che non interessa qui) la molla oscilla simmetricamente intorno al centro: quindi è come avere due molle di lunghezza metà, quindi k doppio, e una massa all'estremità.
Ciascuna di queste due molle ha $omega = sqrt((2k)/m)$, e quindi anche la molla completa.
Cosa c'è che non ti convince?

[Sabb]

E' vero, hai più che ragione.. Stavo (forse) facendo confusione con la prima oscillazione, quando $m_1$ è vincolata. Grazie mille!